qq_56071472的博客

注意，如果排序时需要稳定的算法，可以使用。关于贪心与排序的比较函数，

矩阵乘法可以用来哈希。构造的矩阵越复杂，哈希冲突的概率就越低，原理是矩阵乘法不满足交换律。对于类似括号匹配的问题，可以通过构造矩阵的逆来解决。

对于一个点的所有叶子儿子，离它们最近的节点要么是黑色，要么是白色，那么权衡这些点，肯定选择较少的染色。而贪心是个递归的过程。确保某一次都是最优的也是必须选的，答案也就是最优的。如果一个节点所有儿子中黑色比白色多，那么将儿子中所有白色染上白色，黑色合并到这个节点，否则就反过来。贪心的做法是：如果一个点的所有叶子儿子都要染同一颜色，那么就把它的所有儿子都合并到自己身上。如果说一样多，还是合并过来，但是标记一下状态待定。

考虑一个无向图的完全子图，如果你要求出这个图去除一个点后剩余最大联通块的最小大小，那么将这个完全子图变成菊花图，并保证不删掉菊花图的中心，是不是等价于原图？

一维，也就是一个一维平移而成。所以枚举矩阵的上下边界，之后对区间进行贪心即可。贪心时使用前缀和优化。若原矩阵长、宽上界为。考虑一维的情况，贪心即可。由于矩阵可以表示为一维。

为什么要把正点和负点分开？因为最大闭合子图要么为空，要么包含正点，所以必须连接源点和正点。并且扣去最小割时进行减法操作，相当于颠倒正负，所以说负数连接汇点。我们建立超级源点和汇点。源点连向所有正点权的边，边权为其点权。所有负点权的点连向超级汇点，边权为其点权的相反数。原图中所有的边权在网络中修改为。中所有正点的点权之和加上所有负点点权之和（这里指的是原值而不是相反数）（出发的闭合子图必然是闭合子图。设所有的正点权之和为。中所有负点权的相反数之和）。割，答案即为总点权减去最小割。设割集中所有边权之和为。

由于有一个点在奇环上，可以知道该奇环上的任意一个点到该奇环上的另一个点必然有两条路径，其中一条经过奇数个点，另一条经过偶数个点。对于任意的点双连通图，若一点在某个“点奇环”上，则该图中每一个点都必然在某一个“点奇环”上（不一定是同一个）；同理，边双连通图和“边奇环”也有相似的关系。点奇环的定义是，从一个点出发，经过奇数个点（算上起点）后回到自己（不算终点），且不经过重复的点，则路径上所有的点构成一个点奇环。的点不重复路径，于是这两条路径与大环的一部分构成一个奇环，因此。，和该环上的任意两点。

关于狄利克雷卷积的消去律及其证明。

关于对数的一些基本性质以及相关证明。

关于狄利克雷卷积的一些性质以及相应的证明。如有疏漏不周，请在评论区指出。谢谢。

中的元素必然可以被分成若干组，使得每一组有且仅有两个元素并且乘积对。中任意一个元素都必然对应一个与之相异的元素，使得它们的乘积对。，所以是完全剩余系。，那么将这若干组相乘得到的结果对。中必然有偶数个元素。

id函数和莫比乌斯函数的狄利克雷卷积就是欧拉函数。

关于莫比乌斯反演的一些定理以及证明。

在线性时间内求出它们各自的乘法逆元。（以上写法不正规，大致能理解就行）（以上写法不正规，大概能理解就行）是线性递推的，可以先求出。，再倒回来递推出所有的。

关于乘法逆元的应用、原理和常见求法。

关于欧拉定理和费马小定理的数学证明。如有疏漏不周，请在评论区指出，谢谢。

关于整除的性质，其证明以及一些应用

关于向量点积两种形式等价的原因，在此作出详细说明。

返回的是引用值，所以放入堆栈里的值也是“引用”值，所以输出的三个数都是三次自增运算后的。放入堆栈空间（原因是堆栈是先进后出的结构），所以后面的函数先执行！对于如下代码，你觉得输出是多少？因为函数传参时会将参数。

那么，每一个强连通分量必然由原图的若干点双连通分量（可能去除掉割点）组成（这里及以下的“组成”都可以有重复节点），因为每一个强连通分量必然由自己的若干点双连通分量组成，而这些点双连通分量如果不是原图的点双连通分量（可能去除掉割点），那么必然是有一部分在其它强连通分量，那就与前面的结论矛盾，因此不可能。因此，包含割点的点双连通分量数大于等于二。如果说这个点属于两个或更多点双连通分量，那么将包含它的几个点双连通分量组成一个整体，这个整体必然是一个更大大点双连通子图，就与“分量”（极大）的假设矛盾。

关于Kosaraju的详细证明。如有问题，请在评论区指出。

的边双联通图一定也是点双联通图。重边：如果有大于等于两条u→v的边，就有重边。否则就没有。

关于Tarjan算法的详细讲解。如有疏漏，烦请指出，我会及时修改。

先写库文件，再写宏！