卢卡斯定理和卡特兰数

卢卡斯定理

通常情况下:C(a,b) mod p=a!*inv[b!]*inv[(a-b)!] mod p

其中inv[x]代表x关于p的逆元 inv[x!]可以由inv[1]*inv[2]*...*inv[x]%mod得到所以本质上求inv[x!]得要求inv[x]，可是求inv[x]的时候，求逆元得要求x和p互质,但是如果a很大那么b和a-b就有可能是p的倍数，这种情况下就不能求inv[b]和inv[a-b]了，遇到这种情况我们就要用卢卡斯定理：

递归计算当n/p和m/p都小于p时就可以结束了

int ksm(int x,int n,int p){
	int ans=1;
	while(n){
		if(n%2==1){
			ans=ans*x%p;
		}
		x=x*x%p;
		n/=2;
	}
	return ans;
}
int comb(int a,int b,int p){
	if(b>a){
		return 0;
	}
	int ans=1;
	for(int i=1,j=a;i<=b;i++,j--){
		ans=ans*j%p;
		ans=ans*ksm(i,p-2,p)%p;
	}
	return ans;
}
int lucas(int a,int b,int p){
	if(a<p&&b<p){
		return comb(a,b,p);
	}
	return comb(a%p,b%p,p)*lucas(a/p,b/p,p)%p;
}

卡特兰数

C(n)表示，从原点出发，每次向x或y轴正方向移动1单位，到达点(n,n)，且在移动过程中不越过第一象限平分线的移动方案数。

 则 :

容斥定理:

求n个元素的并集==n个元素相加-n个元素两两的交集+n个元素3个的交集...+(-1)^(n-1)*n个元素的交集

圆排列:

对于n个元素的圆有n!/n即(n-1)!种排列