算法设计与分析—最长公共子序列_最长公共子序列问题用蛮力枚举的方式时间复杂度-优快云博客

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本文探讨了两种策略解决最长公共子序列（LCS）问题：蛮力搜索和动态规划。蛮力策略虽然直观，但效率低下，时间复杂度为O(n^2m)。动态规划策略通过利用最优子结构，避免了子问题重叠，有效提高了算法效率。LCS问题的解依赖于序列的前缀LCS，通过定义C[i,j]表示Xi和Yj的LCS长度，可以构建递归解决方案。当序列长度为0时，LCS长度为0。" 102505642,8372107,Base64编码文件地址过长导致前端a标签失效解决方案,"['Java', '前端开发', 'base64编码', 'nginx', '内存管理']

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一.蛮力搜索策略

蛮力搜索策略的步骤如下：

1.枚举序列XX里的每一个子序列xixi；
2.检查子序列xixi是否也是YY序列里的子序列；
3.在每一步记录当前找到的子序列里面的最长的子序列。

蛮力策略也叫做暴力穷举法，是所有算法中最直观的方法，但效率往往也是最差的。在第1步枚举XX中所有的子序列有2m2m个，每个子序列在YY中检查时间复杂度为O(n)O(n)。因此蛮力策略的最坏时间复杂度为O(n2m)O(n2m)，这是指数级算法，对较长的序列求LCS是不适用的。

二.动态规划策略

LCS问题具有最优子结构
令 X=<x1,x2,…,xm>X=<x1,x2,…,xm> 和 Y=<y1,y2,…,yn>Y=<y1,y2,…,yn> 为两个序列，Z=<z1,z2,z3,…,zk>Z=<z1,z2,z3,…,zk>为XX和YY的任意LCS。则
如果xm=ynxm=yn，则zk=xm=ynzk=xm=yn且Zk−1Zk−1是Xm−1Xm−1和Yn−1Yn−1的一个LCS。
如果xm≠ynxm≠yn，那么zk≠xmzk≠xm，意味着ZZ是Xm−1Xm−1和YY的一个LCS。
如果xm≠ynxm≠yn，那么zk≠ynzk≠yn，意味着ZZ是XX和Yn−1Yn−1的一个LCS。
从上述的结论可以看出，两个序列的LCS问题包含两个序列的前缀的LCS，因此，LCS问题具有最优子结构性质。在设计递归算法时，不难看出递归算法具有子问题重叠的性质。
设C[i,j]C[i,j]表示XiXi和YjYj的最长公共子序列LCS的长度。如果i=0i=0或j=0j=0,即一个序列长度为00时，那么LCS的长度为0。

代码实现

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 50

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
   
    int i, j;

    for(i = 0; i <= m; i++)
        c[i]