拓扑排序

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分类专栏：算法文章标签：算法

于 2024-08-05 21:20:48 首次发布

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一、概念

一个无环的有向图称为有向无环图。

有向无环图是描述一个工程、计划、生产、系统等流程的有效工具。一个大工程可分为若干个子工程（活动），活动之间通常有一定的约束，例如先做什么活动，什么活动完成后才可以开始下一个活动。

用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系的有向图，称为顶点表示活动的网，简称AOV网。

在AOV网中，若从顶点i到顶点j之间存在一条有向路径，称顶点i是顶点j的前驱，或者称顶点j是顶点i的后继。若<i,j>是图中的弧，则称顶点i是顶点j的直接前驱，顶点j是顶点i的直接后继。

AOV网中是不允许有环的，否则会出现自己是自己的前驱，陷入死循环。可以对有向图的顶点进行拓扑排序，如果AOV网中所有的顶点都在拓扑序列中，则AOV网中必定无环。

拓扑排序是指将AOV网中的顶点排成一个线性序列，该序列必须满足：若从顶点i到顶点j有一条路径，则该序列中顶点i一定在顶点j之前。

如何进行拓扑排序呢？拓扑排序的基本思想：

①选择一个无前驱的顶点并输出；

②从图中删除该顶点和该顶点的所有发出边；

③重复①和②，直到不存在无前驱的顶点；

④如果输出的顶点数小于AOV网中的顶点数，则说明网中有环，否则输出的序列即为拓扑排序。

举例，学生应该按照怎样的顺序来学习下面这些课程

如果用顶点表示课程，弧表示先修关系，若课程i是课程j的先修课程，在用弧<i,j>表示，课程之间的关系如图所示

$C_{0}$ 和 $C_{5}$ 都无前驱，先输出 $C_{0}$ ，删除 $C_{0}$ 和 $C_{0}$ 的所有发出边，如图(a)所示；

此时 $C_{2}$ 和 $C_{5}$ 都无前驱，输出 $C_{5}$ ，删除 $C_{5}$ 和 $C_{5}$ 的所有发出边，如图(b)所示；

此时 $C_{2}$ 和 $C_{3}$ 都无前驱，输出 $C_{2}$ ，删除 $C_{2}$ 和 $C_{2}$ 的所有发出边，如图(c)所示；

此时 $C_{1}$ 和 $C_{3}$ 都无前驱，输出 $C_{3}$ ，删除 $C_{3}$ 和 $C_{3}$ 的所有发出边，如图(d)所示；

此时<