Jacobi方法特征分解学习笔记

1. Givens变换

​ Jacobi 方法是用来计算实对称矩阵的全部特征值和特征向量的一种方法, 它的基本思想是: 因为任何一个实对称矩阵都与一个对角矩阵相似, 所以通过正交相似变换把实对称矩阵化为对角矩阵, 对角矩阵的对角线上的元素即为所求特征值. 由线性代数的知识 得, 若 $\mathbf{A}\in {\mathbf{R}}^{n\times n}$ 为对称矩阵, 则存在一个正交矩阵 $\mathbf{P}$ , 使得
$$\mathbf{PA}{\mathbf{P}}^{-1}=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)=\mathbf{D}$$

${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 即为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值, ${\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}$ 的 $n$ 个列向量 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 即为所对应的特征向量
$$\mathbf{P}=\left[\begin{array}{cccccccccc}1& & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & \\ & & \cos \theta & & & & \sin \theta & & & \\ & & & 1& & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & \\ & & & & & 1& & & & \\ & & -\sin \theta & & & & \cos \theta & & & \\ & & & & & & & 1& & \\ & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & 1\end{array}\right]\equiv \mathbf{P}(i,j)$$
称 $\mathbf{P}$ 为平面旋转矩阵， $PA$ 只改变 $A$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行的元素; $A{P}^{\mathrm{T}}$ 只改变 $A$ 的第 $i$ 列与第 $j$ 列的元素; $PA{P}^T$ 只改变 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 行, 第 i i