减治法——9月24日课堂知识小结（上）_减治法实验总结-优快云博客

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本文探讨了分治法与减治法的区别，通过两个序列中位数的求解实例展示了减治法的应用。在中位数问题中，通过比较两个序列的中位数并调整序列边界，最终找到共同中位数。此外，还介绍了折半查找的原理，利用有序序列特性，每次缩小查找范围至一半，提高查找效率。

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概述

分治法是将大问题划分为若干小问题，逐一求解，将子问题的解合并得到原问题的解。减治法也将一个大问题细分，但不需要分别求解，只需求出其中一个子问题。

举个例子：

原问题的解与子问题的解之间的关系：

① 原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中；

② 原问题的解与其中一个较小规模的解之间存在某种对应关系。

因此，一旦问题中能建立这种关系，就可以从顶至下递归的来用该关系，也可以从底至上非递归的来运用该关系。

减治法3种主要变种：

减一个常量，如冒泡排序、汉诺塔问题（每次递归，都有一个碟子放在塔C，问题规模-1）。
减一个常因子，如二分查找（循环一次，排除一半元素）。
减可变规模，如欧几里得算法。

例一、两个序列的中位数

【问题描述】

一个长度为n(n≥1)的升序序列S，处在第n/2个位置的数成为序列S的中位数。
两个序列的中位数是他们所有元素的升序序列的中位数。
现有两个等长升序序列A和B，找出两个序列的中位数。

【思路】

1.循环直到序列A和序列B均只有一个元素
    1.1 a = 序列A的中位数；
    1.2 b = 序列B的中位数；
    1.3 比较a和b，执行下面三种情况之一：
        1.3.1 若a=b，则返回a，算法结束；
        1.3.2 若a<b，则在序列A中舍弃a之前的元素，在序列B中舍弃b之后的元素，转步骤1；
        1.3.3 若a>b，则在序列A中舍弃a之后的元素，在序列B中舍弃b之前的元素，转步骤1；

2.序列A和序列B均只有一个元素，返回较小者；

为什么要求两个序列的中位数a和b呢，举两个例子：

上述思路还有个需要留心的点，每次舍弃元素后要保证序列A和序列B中剩余元素的个数相等。为什么这么说呢，举个例子：

A序列{1，2}，B序列{3，4}

对于这两个序列分别求中位数，得a=1，b=3。由于a<b，则应该保留A序列中位数右侧元素，保留B序列中位数左侧元素。但是对于中位数值较大的一方，也就是B序列，在更新序列上下界时，由于奇数除2向下取整，就相当于B序列自动舍弃了一个元素。但反观A序列并不会舍弃元素，就会变成

A序列{1，2} B序列{3}

的情形。因此在序列上下界指针的下标和为奇数时，对于中位数较小的一方的左指针要+1。

【复杂度】

每次求两个序列的中位数后，得到两个子序列的长度为原序列的一半，可知循环共执行 $\log_{2}{n}$ 次，时间按复杂度为 $O(\log_{2}{n})$ ，无开辟临时空间，空间复杂度为 $O(1)$ 。

例二、折半查找

【问题】

在一个有序序列中查找值为k的记录。
查找成功，返回记录k在序列中的位置；
若查找失败，返回失败信息。

【折半查找的条件】

1.序列有序
2.序列要用顺序存储结构，而不是用链式存储结构

【思路】

1.取有序序列的中间元素mid作为比较对象：
    1.1若查找值k与mid相等，则查找成功；
    1.2若查找值k小于mid，则在mid的左半区继续查找；
    1.3若查找值k大于mid，则在mid的右半区继续查找；
2.重复上述过程，直到查找成功，或所查找的区间不存在，查找失败。