【BUPT】3.5 傅里叶变换的基本性质——信号与系统(微课版 支持H5交互）笔记

傅里叶变换基本性质总结

1. 线性：$\mathcal{F}\left[{\sum }_{i=1}^n{a}_i{f}_i(t)\right]={\sum }_{i=1}^n{a}_i{F}_i(\omega )$，可利用已知信号变换求复杂信号变换。
2. 对称性质：$\mathcal{F}[F(t)]=2\pi f(-\omega )$，能通过已知变换关系求相关信号变换。
3. 共轭和共轭对称性
   • 共轭性：$\mathcal{F}\left[f^{\ast }(t)\right]=F^{\ast }(-\omega )$。
   • 共轭对称性质：实信号$f(t)$ 的$F(\omega )$ 满足$F^{\ast }(-\omega )=F(\omega )$ 或$F^{\ast }(\omega )=F(-\omega )$，且实信号傅里叶变换有奇偶虚实性规律。
4. 尺度变换性质：$\mathcal{F}[f(at)]=\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega }{a})$，$a$ 影响信号时域与频域的压缩或扩展，$a=-1$ 时信号时域倒置频谱也倒置。
5. 时移性质：$\mathcal{F}\left[f(t-t_0)\right]=F(\omega )e^{-j\omega t_0}$，时移使幅度谱不变，相位谱产生线性相移。
6. 频移性质：$\{\begin{array}{l}\mathcal{F}\left[f(t)e^{j{\omega }_{0}t}\right]=F(\omega -{\omega }_0)\\ \mathcal{F}\left[f(t)e^{-j{\omega }_{0}t}\right]=F(\omega +{\omega }_0)\end{array}$，是通信调制解调基础，信号与三角函数相乘频谱会搬移。
7. 时域微分性质：$\mathcal{F}\left[f^{\prime }(t)\right]=j\omega F(\omega )$，可简化某些信号变换求解。
8. 频域微分性质：$\mathcal{F}[tf(t)]=j\frac{dF(\omega )}{d\omega }$，与时域微分性质结合可求解高斯函数等信号变换。
9. 积分性质：$\mathcal{F}\left[{\int }_{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau \right]=\pi F(0)\delta (\omega )+\frac{F(\omega )}{j\omega }$，用于求相关信号变换。
10. 卷积定理
    • 时域卷积定理：$\mathcal{F}\left[f_1(t)\ast f_2(t)\right]=F_1(\omega )\cdot F_2(\omega )$。
    • 频域卷积定理：$\mathcal{F}\left[f_1(t)\cdot f_2(t)\right]=\frac{1}{2\pi }{F}_1(\omega )\ast F_2(\omega )$，在通信和信号处理领域广泛应用于分析系统响应和信号频谱等。