快速幂算法

最新推荐文章于 2025-01-24 22:00:00 发布

Cukor丘克

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分类专栏：算法 Java学习文章标签：算法数据结构 java

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_53744721/article/details/130040473

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文章介绍了快速幂算法，用于高效计算x^n的值。通过递归和循环两种基本方法，然后提出快速幂算法，将时间复杂度降低到O(logn)。文章详细解释了算法原理，包括如何利用二进制分解来优化计算，并提供了不同进制版本的算法实现，强调了并不总是进制越高越好，最终推荐了使用二进制优化的版本作为最佳实践。

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快速幂算法

设计一个算法计算 $x^n$ 的值。

根据定义最常见也最能瞬间想到的是如下的算法：

// 递归写法
public int pow1(int x, int n) {
   
  if (n == 0) return 1;
  if (n == 1) return x;
  return x * pow1(x, n - 1);
}
// 循环写法
public int pow2(int x, int n) {
   
  int y = 1;
  while (n) {
   
    y *= x;
    n--;
  }
  return y;
}

但上面的算法的时间复杂度是 $O (n)$

下面采用快速幂算法来解决这个问题。

在解决它之前先来看一下原理： $x^{n}=x^{n-a}x^a$

所以我们可以对本身要求的 $x^n$ 对半分来求，只求一半的数，然后乘以自己本身就可以达到 $x^n$

但是会出现的情况就是，对半分的时候会出现小数的情况，所以一定要分奇数和偶数的情况。

如果n分半了之后是偶数，那就直接对半分，如果是奇数则在对半分之后还要乘以一个x。

所以可以有下面的规律：

f(x, n) = {
   
  f(x, n/2)*f(x, n/2),    // 当n为偶数
  x*f(x, n/2)*f(x, n/2)   // 当n为奇数
}

所以得出快速幂算法1：

public int qPow1(int x, int n) {
   
  if (n == 0) return 1;
  if (n == 1) return x;
  if (n % 2 == 1) return x*f(x, n/2)*f(x, n/2);
  return f(x, n/2)*f(x, n/2);
}

但是上面的算法明显没有任何增进，因为f(x, n/2)要算两次，那和之前的 $O (n)$ 的算法没什么区别。所以使用一个中间变量去接受一下，就可以提高算法效率。

public int qPow1(int x, int n) {
   
  if (n == 0) return 1;
  if (n == 1) return x;
  int t = f(x, n/2)
  if (n % 2 == 1) return x * t * t;
  return t * t;
}