【回溯算法】子集数与排列树模板

有时问题是要从一个集合的所有子集中搜索一个集合，作为问题的解。

或者从一个集合的排列中搜索一个排列，作为问题的解。

回溯算法可以很方便地遍历一个集合的所有子集或者所有排列。

子集树

当问题是要计算n个元素的子集，以便达到某种优化目标时，可以把这个解空间组织成一棵子集树。

例如，n个物品的0-1背包问题相应的解空间树就是一棵子集树。

这类子集树通常有2n个叶结点，结点总数为2(n +1)-1。(n+1)为上标

遍历子集树的任何算法，其计算时间复杂度都是Ω(2n),2的n次方。

//形参t为树的深度，根为1
void backtrack (int t)
{
　　if (t>n) update(x);
　　else
　　　　for (int i=0; i<=1; i++)　　//每个结点只有两个子树
　　　　{
　　　　　　x[t]=i;　　　　　　　  //即0/1
　　　　　　if (constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);
　　　　}
}

约束函数constraint(t)和限界函数bound(t)，称为剪枝函数。
函数update(x)是更新解向量x的。
约束函数constraint(t)，一般可以从问题描述中找到。

排列树

当所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，可以把这个解空间组织成一棵排列树。

排列树通常有n!个叶子结点。因此遍历排列树时，其计算时间复杂度是Ω(n!) 。

例如，旅行商问题就是一棵排列树。

//形参t为树的深度，根为1
void backtrack (int t)
{
　　if (t>n) update(x);
　　else
　　　　for (int i=t; i<=n; i++)
　　　　{
　　　　　　//为了保证排列中每个元素不同，通过交换 来实现
　　　　　　swap(x[t], x[i]);
　　　　　　if (constraint(t) && bound(t)) backtrack(t+1);
　　　　　　swap(x[t], x[i]);　　　　//恢复状态
　　　　}