AcWing 222. 青蛙的约会

一.题目链接

二.思路

a:青蛙a的起点
b:青蛙b的起点
m:青蛙a一次能跳多远
n:青蛙b一次能跳多远
L:一圈的距离
(b-a):a要追b多少米
(m-n):每跳一次，a能追b多少米

x是总共跳了多少次
y是a追b不一定会在一圈内追完，而是追了y圈
          (m - n)*x = b - a + y*L
    (m - n)*x - y*L = b - a
    ———————       —   —————
    已知         已知 已知

扩展欧几里得求的是
    ax+by=d
    a已知，b已知，d是a和b的最大公约数，求x，y
因此把上式的a替换乘(m-n),b替换成L。
式子变成(m-n)*x+(-y)*L=d
如果(b-a)%d不等于0，两只青蛙永远不会碰面
如果(b-a)%d等于零，把(m-n)*x+(-y)*L=d扩大(b-a)/d倍后，x就是结果。

三.代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;
//扩展欧几里得
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}
int main()
{
    LL x, y, m, n, L;
    cin >> x >> y >> m >> n >> L;
    LL a, b;
    LL d = exgcd(m - n, L, a, b);
    if((y - x) % d) puts("Impossible");//ax + by = d 只能求出来d和d的倍数。
    else
    {
        a *= (y - x) / d;//将答案扩大
        LL t = abs(L / d);//因为要求正整数解，此时L/d不一定是正数 所以取绝对值。
        cout << (a % t + t) % t << endl;//求最小正整数解
    }
    return 0;
}

四.总结

• $ax+by=d$只能求出来最大公约数和最大公约数的倍数。
• 要求正整数解的情况下，记得取abs，因为不一定为正数。
• exgcd求出来的是d，因此一般要扩大答案。