2021-02-02

Nim游戏

最普遍的定义：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，每次每人进行一次移动。合法的移动要求：“选择一堆石子并拿走若干颗，且不能不拿”。当轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判为此人负，因为他此刻无法进行任何合法的移动。

为了方便阐述，以下列模型为例

用(a, b, c)表示这三堆物品各自的数目。

（1） 显然(0, 0, 0)是P局势，即为必败态，此时先手无可取的物品，必败。

（2） 而对于(n, n, 0)的局势，只要后手拿走和先手一样多的物品，最后必会形成局势(1)：(0, 0, 0)。即先手必败的P局势。故此也为P局势。

（3） 对于(n, m, 0)的局势，先手可以先拿走一些物品，使剩下的两堆物品相同即构成局势(2)：(n, n, 0)。

最终该模型的规律为：(a, b, c)为必败态当且仅当a xor b xor c =0a xor b xor c =0
证明
设p(a, b, c) = a xor b xor c
1）任何以p(a,b,c)=0p(a,b,c)=0出发的局面(a, b, c)一定有p(a,b,c′)≠0p(a,b,c′)≠0，否则可以得到c = c’
2）任何p(a,b,c)≠0p(a,b,c)≠0的局面都可以走向p(a,b,c)=0p(a,b,c)=0的局面

对所有p(a,b,c)=0p(a,b,c)=0的局面，不管先手如何走，一定会到达p(a,b,c′)≠0p(a,b,c′)≠0的局面。而后手一定可以通过选择一些物品走向p(a′,b′,c′′)p(a′,b′,c″)的局面，最终一定会走向a=b=ca=b=c的P局势，因此对于p(a,b,c)=0p(a,b,c)=0的局势，一定是P局势。

例如：p(4, 10, 14)=0

4=(0100)2=0+4+0+04=(0100)2=0+4+0+0
10=(1010)2=8+0+2+010=(1010)2=8+0+2+0
14=(1110)2=8+4+2+014=(1110)2=8+4+2+0
分解成二进制后，非零项成对出现。

所以有以下情况：

1. 先手拿掉1414里的88和22，后手可以拿1010里的88和22。最终剩下44和44，显然先手必输。
2. 先手拿掉1414里的44，后手可以拿44里的44。则剩下1010和1010，显然先手必输。
3. 先手拿掉1414里的55个，剩下99，即为8+18+1，则可以通过构造其他物品取走的数目满足成对出现。当前为(4,10,9)(4,10,9)：

4=(0100)2=0+4+0+04=(0100)2=0+4+0+0
10=(1010)2=8+0+2+010=(1010)2=8+0+2+0
9=(1001)2=8+0+0+19=(1001)2=8+0+0+1
则，44中取走11个，为(3,10,9)(3,10,9)：

3=(0011)2=0+0+2+13=(0011)2=0+0+2+1
10=(1010)2=8+0+2+010=(1010)2=8+0+2+0
9=(1001)2=8+0+0+19=(1001)2=8+0+0+1
如此，构造即可。