树状数组三种模板

单点修改，区间查询：

给定数列 a1,a2,…,ana1,a2,…,an，你需要依次进行 qq 个操作，操作有两类：

• 1 i x：给定 i,xi,x，将 aiai 加上 xx；
• 2 l r：给定 l,rl,r，求 ∑ri=lai∑i=lrai 的值（换言之，求 al+al+1+⋯+aral+al+1+⋯+ar 的值）。

输入格式

第一行包含 22 个正整数 n,qn,q，表示数列长度和询问个数。保证 1≤n,q≤1061≤n,q≤106。
第二行 nn 个整数 a1,a2,…,ana1,a2,…,an，表示初始数列。保证 |ai|≤106|ai|≤106。
接下来 qq 行，每行一个操作，为以下两种之一：

• 1 i x：给定 i,xi,x，将 a[i]a[i] 加上 xx；
• 2 l r：给定 l,rl,r，求 ∑ri=lai∑i=lrai 的值。

保证 1≤l≤r≤n,1≤l≤r≤n, |x|≤106|x|≤106。

输出格式

对于每个 2 l r 操作输出一行，每行有一个整数，表示所求的结果。

样例

Input	Output
3 2 1 2 3 1 2 0 2 1 3	6

数据范围与提示

对于所有数据，1≤n,q≤106,1≤n,q≤106, |ai|≤106|ai|≤106, 1≤l≤r≤n,1≤l≤r≤n, |x|≤106|x|≤106。

#include<bits/stdc++.h>;
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+6;
ll a[N],n;
void add(int x,int y)
{
	for(int i=x; i<=n; i+=(i&-i))
		a[i]+=y;
}
ll sum1(int x)
{
	ll s=0;
	for(int i=x; i>=1; i-=(i&-i))
		s+=a[i];
	return s;
}
int main()
{
	int i,j,k;
	int m,x,y,t;
	cin>>n>>m;
	for(i=1; i<=n; i++)
	{
		cin>>x;
		add(i,x);
	}
	while(m--)
	{
		cin>>t>>x>>y;
		if(t==1)
			add(x,y);
		else
			printf("%lld\n",sum1(y)-sum1(x-1));
	}
	return 0;
}

区间修改，单点查询

给定数列 a[1],a[2],…,a[n]a[1],a[2],…,a[n]，你需要依次进行 qq 个操作，操作有两类：

• 1 l r x：给定 l,r,xl,r,x，对于所有 i∈[l,r]i∈[l,r]，将 a[i]a[i] 加上 xx（换言之，将 a[l],a[l+1],…,a[r]a[l],a[l+1],…,a[r] 分别加上 xx）；
• 2 i：给定 ii，求 a[i]a[i] 的值。

输入格式

第一行包含 22 个正整数 n,qn,q，表示数列长度和询问个数。保证 1≤n,q≤1061≤n,q≤106。
第二行 nn 个整数 a[1],a[2],…,a[n]a[1],a[2],…,a[n]，表示初始数列。保证 |a[i]|≤106|a[i]|≤106。
接下来 qq 行，每行一个操作，为以下两种之一：

• 1 l r x：对于所有 i∈[l,r]i∈[l,r]，将 a[i]a[i] 加上 xx；
• 2 i：给定 ii，求 a[i]a[i] 的值。

保证 1≤l≤r≤n,1≤l≤r≤n, |x|≤106|x|≤106。

输出格式

对于每个 2 i 操作，输出一行，每行有一个整数，表示所求的结果。

样例

Input	Output
3 2 1 2 3 1 1 3 0 2 2	2

数据范围与提示

对于所有数据，1≤n,q≤106,1≤n,q≤106, |a[i]|≤106|a[i]|≤106, 1≤l≤r≤n,1≤l≤r≤n, |x|≤106|x|≤106。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn =1e6+6;
ll n,m,k;
ll a[maxn];
void add(int x,int s)
{
	for(int i=x;i<=n;i+=(i&-i)) 
	 a[i]+=s;
}
ll sum1(int x)
{
	ll s=0;
	for(int i=x;i>=1;i-=(i&-i)) 
	  s+=a[i];
	return s;
}
int main()
{
	int i,j,k;
	int y,t,x,m,z;
	cin>>n>>m;
	y=0;
	for(i=1; i<=n; i++)
	{
		cin>>x;
		add(i,x-y);
		y=x;
	}
	while(m--)
	{
		cin>>t;
		if(t==1)
		{
			cin>>x>>y>>z;
			add(x,z);
			add(y+1,-z);
		}
		else
		{
			cin>>x;
			printf("%lld\n",sum1(x));
		}
	}
	return 0;
}

区间修改，区间查询

给定数列 a[1],a[2],…,a[n]a[1],a[2],…,a[n]，你需要依次进行 qq 个操作，操作有两类：

• 1 l r x：给定 l,r,xl,r,x，对于所有 i∈[l,r]i∈[l,r]，将 a[i]a[i] 加上 xx（换言之，将 a[l],a[l+1],…,a[r]a[l],a[l+1],…,a[r] 分别加上 xx）；
• 2 l r：给定 l,rl,r，求 ∑ri=la[i]∑i=lra[i] 的值（换言之，求 a[l]+a[l+1]+⋯+a[r]a[l]+a[l+1]+⋯+a[r] 的值）。

输入格式

第一行包含 22 个正整数 n,qn,q，表示数列长度和询问个数。保证 1≤n,q≤1061≤n,q≤106。
第二行 nn 个整数 a[1],a[2],…,a[n]a[1],a[2],…,a[n]，表示初始数列。保证 |a[i]|≤106|a[i]|≤106。
接下来 qq 行，每行一个操作，为以下两种之一：

• 1 l r x：对于所有 i∈[l,r]i∈[l,r]，将 a[i]a[i] 加上 xx；
• 2 l r：输出 ∑ri=la[i]∑i=lra[i] 的值。

保证 1≤l≤r≤n,1≤l≤r≤n, |x|≤106|x|≤106。

输出格式

对于每个 2 l r 操作，输出一行，每行有一个整数，表示所求的结果。

样例

Input	Output
5 10 2 6 6 1 1 2 1 4 1 2 5 10 2 1 3 2 2 3 1 2 2 8 1 2 3 7 1 4 4 10 2 1 2 1 4 5 6 2 3 4	15 34 32 33 50

数据范围与提示

对于所有数据，1≤n,q≤106,1≤n,q≤106, |a[i]|≤106|a[i]|≤106, 1≤l≤r≤n,1≤l≤r≤n, |x|≤106|x|≤106。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+6;
ll c1[N],c2[N],n;
void add(ll x,ll w)
{
	ll t=x;
	while(x<=n)
	{
		c1[x]+=w;
		c2[x]+=t*w; 
		x+=(x&-x);
	}
	return ;
}
ll sum(ll x)
{
	ll s=0,t=x;
	while(x>0)
	{
		s+=c1[x]*(t+1)-c2[x];
		x-=(x&-x);
	}
	return s;
}
int main()
{
	int i,j,k;
	ll x,y=0,z,t,s1,s2,m;
	cin>>n>>m;
	for(i=1; i<=n; i++)
	{
		cin>>x;
		add(i,x-y);
		y=x;
	}
	while(m--)
	{
		cin>>t;
		if(t==1)
		{
			cin>>x>>y>>z;
			add(x,z);
			add(y+1,-z);
		}
		else
		{
			cin>>x>>y;
			printf("%lld\n",sum(y)-sum(x-1));
		}
	}
	return 0;
}

‘&’的运用，二进制思想

三种树状数组模板对区间问题解决区别：建树方式

区间修改：差分思想

区间查询：差分，数组维护

第三种中模板数组维护，解决思想来自数学公式证明，可参考下面链接

树状数组证明链接：

https://blog.youkuaiyun.com/bestsort/article/details/80796531