【动态规划】整数划分及其变种

1. 整数划分【不可重复，考虑顺序，完全背包】

900. 整数划分

思路

题意转为完全背包求解。

等价于背包容量为 $n$，且有n个物品体积分别是 $1，2，\mathrm{3...}n$ ，每个数任意选无限次，问恰好装满背包的方案数。

• $f[i][j]$: 表示前 $i$个数凑成体积为 $j$的方案数。

推导如下：

1. 当前不选，$f[i][j]=f[i-1][j]$
2. 当前 $i$ 选，$f[i][j]=f[i-1][j-i]+f[i-1][j-2\ast i]+...$

即当前物品从0个选到上限个：
=> $f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i]+f[i-1][j-2\ast i]+...$

• 又由 $f[i][j-i]=f[i-1][j-i]+f[i-1][j-2\ast i]+...$ 可知：

=> $f[i][j]=f[i][j-i]+f[i-1][j]$

代码

int n; cin >> n;
for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++){
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        f[i][j] = f[i - 1][j] % mod;
        if(j >= i) f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - i]) % mod;
    }
}
cout << f[n][n] << endl;

• 压缩一维

g[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = i; j <= n; j++) 
        g[j] = (g[j] + g[j - i]) % mod;
cout << g[n] << endl;

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2. 鸣人的影分身【可重复，不考虑顺序，>=0】

1050. 鸣人的影分身

思路

可重复型 & 二维费用完全背包

题意：$n$ 拆成 $m$ 份的方案数，换句话说就是用 $m$ 个数拼成 $n$ 的方案数。

每个数可以选多次（$\ge 0$），就是完全背包问题，受体积和份数限制，即二维费用完全背包。

• $f[i][j]$: 表示体积为 $i$ 时，划分 $j$ 份的方案数。

推导如下：

1. 当前有0的情况：$f[i][j]=f[i][j-1]$
2. 当前无0的情况： $f[i][j]=f[i-j][j]$

=> $f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-j][j]$

代码

cin >> n >> m;
f[0][0] = 1;
for (int i = 0; i <= n; i++) 
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        f[i][j] = f[i][j - 1];
        if (i >= j) f[i][j] = (f[i][j - 1] + f[i - j][j]) % mod; 
    }
cout << f[n][m] << endl;

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3. 数的划分【可重复，不考虑顺序，>=1】

[编程题]数的划分

思路

与上题不同的是，分的每份都不能为空，即 $\ge 1$。

• $f[i][j]:$ 表示体积为 $i$ 时，划分 $j$ 份的方案数。

推导如下：

1. 当前有1的情况：$f[i][j]=f[i-1][j-1]$
2. 当前无1的情况：$f[i][j]=f[i-j][j]$

=> $f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]$

实际上，和第二题一致。不过在当前至少一个 $1$ 存在，递推时体积 $-1$；而第二题体在当前至少一个 $0$ 存在，递推时体积 $-0$。

代码

int n, m; cin >> n >> m;
vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(m + 1, 0)); 
f[0][0] = 1;
const int mod = 1e9 + 7;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i && j <= m; j++) {
        f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]) % mod;
    }
}
cout << f[n][m] << endl;