蓝桥杯练习-3.7

蓝桥杯练习-3.7

代码练习

▪ FJ的字符串

问题描述

最近FJ为他的奶牛们开设了数学分析课，FJ知道若要学好这门课，必须有一个好的三角函数基本功。所以他准备和奶牛们做一个“Sine之舞”的游戏，寓教于乐，提高奶牛们的计算能力。
　　不妨设
　　An=sin(1–sin(2+sin(3–sin(4+…sin(n))…)
　　Sn=(…(A1+n)A2+n-1)A3+…+2)An+1
　　FJ想让奶牛们计算Sn的值，请你帮助FJ打印出Sn的完整表达式，以方便奶牛们做题。

输入格式

仅有一个数：N<201。

输出格式

请输出相应的表达式Sn，以一个换行符结束。输出中不得含有多余的空格或换行、回车符。

样例输入

3

样例输出

((sin(1)+3)sin(1–sin(2))+2)sin(1–sin(2+sin(3)))+1

思路：

找规律，注意表达式的通项和主体部分，做到不重不漏。

注意到An = sin(n ± sin(n + 1))，A1 = sin(1 - sin(2))，A2 = sin(2 + sin(3))

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
void An(int x, int N);
void Sn(int N, int t)//其中N代表输入的n，t则代表的是加的数
{
    if (N > 1)
    {
        printf("(");
        Sn(N - 1, t + 1);
    }
    An(1, N);
    printf("+");
    printf("%d", t);
    if(t != 1)
        printf(")");
}
void An(int x, int N)
{
    if (x == N)
    {
        printf("sin(%d)",N);
        return;
    }
    printf("sin(");//注意表达式主体部分，有括号一定有括回
    if (x < N)
    {
        if (x % 2 == 0)
            printf("%d+",x);
        else printf("%d-",x);
        An(x + 1, N);
    }
    printf(")");//括回
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    Sn(n, 1);
    return 0;
}

▪ 芯片测试

问题描述

有n（2≤n≤20）块芯片，有好有坏，已知好芯片比坏芯片多。
　　每个芯片都能用来测试其他芯片。用好芯片测试其他芯片时，能正确给出被测试芯片是好还是坏。而用坏芯片测试其他芯片时，会随机给出好或是坏的测试结果（即此结果与被测试芯片实际的好坏无关）。
　　给出所有芯片的测试结果，问哪些芯片是好芯片。

输入格式

输入数据第一行为一个整数n，表示芯片个数。
　　第二行到第n+1行为n*n的一张表，每行n个数据。表中的每个数据为0或1，在这n行中的第i行第j列（1≤i, j≤n）的数据表示用第i块芯片测试第j块芯片时得到的测试结果，1表示好，0表示坏，i=j时一律为1（并不表示该芯片对本身的测试结果。芯片不能对本身进行测试）。

输出格式

按从小到大的顺序输出所有好芯片的编号

样例输入

3
1 0 1
0 1 0
1 0 1

样例输出

1 3

思路：因为，题目中说到好芯片的数量比坏芯片的数量多，因此只要判断每一个芯片的合格次数大于n/2即可。

代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;
int n;
int a[25][25];
int num[25];
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n ; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
        {
            cin >> a[i][j];
            if (a[i][j] == 1)
                num[j]++;
        }
    }
    for (int i = 0; i <= n ; ++i)
    {
        if (num[i] > n / 2)
            cout << i << " ";
    }
    return 0;
}

▪ C 数列求和（第十届蓝桥杯）

Description

给定数列 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, …，从第 4 项开始，每项都是前 3 项的和。

求第 20190324 项的最后 4 位数字。

Input

没有输入。

Output

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。

本题的结果为一个 4 位整数（提示：答案的千位不为 0），

思路

跟斐波那契数列类似，注意的是，最后只需要要后四位的值，所以我们在每一次加完前三项的和以后，让和对10000取余这样最后得出的结果就是最后4位数字

答案：4659

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int main()
{
    int a, b, c;
    a = b = c = 1;
    int d;
    for (int i = 4; i <= 20190324; i++)
    {
        d = a + b + c;
        d %= 10000;
        a = b;
        b = c;
        c = d;
    }
    cout << d << endl;
    return 0;
}

▪ D 数的分解（第十届蓝桥杯）

Description

把 2019 分解成 3 个各不相同的正整数之和，并且要求每个正整数都不包含数字 2 和 4，一共有多少种不同的分解方法？

注意交换 3 个整数的顺序被视为同一种方法，例如 1000+1001+18 和1001+1000+18 被视为同一种。

Input

没有输入。

Output

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可

思路

直接暴力点用三个for循环，出结果的时候可能要等几秒，然后就是注意不能包含2和4，以及三个整数的顺序被视为一个，我们可以在i循环的基础上j从i+1开始循环，k从j+1开始循环，这样可以避免掉他们是各不相同，而且结果不重复，即结果都是三个数依次递增，或者算出所有结果，最后除6，也就是3的全排列数也行

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
int ans = 0;
int judge(int n)
{
    int flag = 1;
    while(n)
    {
        if (n % 10 == 2 || n % 10 == 4)
        {
            flag = 0;
        }
        n /= 10;
    }
    return flag;
}
int main()
{
    for (int i = 1; i <= 2019; ++i)
    {
        for (int j = i + 1; j <= 2019; ++j)
        {
            for (int k = j + 1; k <= 2019; ++k)
            {
                if (i + j + k == 2019)
                {
                    if (judge(i) == 1 && judge(j) == 1 && judge(k) == 1)
                        ans++;
                }
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

▪ E 迷宫（第十届蓝桥杯）

Description

下图给出了一个迷宫的平面图，其中标记为 1 的为障碍，标记为 0 的为可

以通行的地方。

010000
000100
001001
110000

迷宫的入口为左上角，出口为右下角，在迷宫中，只能从一个位置走到这个它的上、下、左、右四个方向之一。

对于上面的迷宫，从入口开始，可以按DRRURRDDDR 的顺序通过迷宫，

一共 10 步。其中 D、U、L、R 分别表示向下、向上、向左、向右走。

对于下面这个更复杂的迷宫（30 行 50 列），请找出一种通过迷宫的方式，

其使用的步数最少，在步数最少的前提下，请找出字典序最小的一个作为答案。

请注意在字典序中D<L<R<U。（如果你把以下文字复制到文本文件中，请务

必检查复制的内容是否与文档中的一致。在试题目录下有一个文件 maze.txt，

思路

使用BFS-广度优先搜索，在BFS的基础上，我们将bfs搜索函数的类型设为string，以便我们最后输出 D、U、L、R，记得结构体内，需要有一个string类型的变量，来得到路径，它是一直叠加的，最终会得到一长串路径。

❕注意：判断最后到达终点的if语句可以放在俩个地方，① 一个地方是直接在拿出队首状态的下一句，如果是终点，直接返回现在结构体中的路径数，注意这里是不用加d[i]的，因为我们上一次while循环已经加好了，只是放在下一个循环判断。② 另一个地方是在for循环的if语句里面，也就是走到下一步之后立即判断，这里就需要返回now.d + d[i]了，因为还没加上这一步的路径

还有就是dir[4] [2]数组一定要书写准确！！！不然最后的结果都得不出来

代码实现：

#include <iostream>
#include <string>
#include <queue>
using namespace std;
string maze[100];//地图
bool vis[50][60];//标记
int dir[4][2] = {{1, 0}, {0, -1}, {0, 1}, {-1, 0}};//分别对应着下面的，可以保证优先是按下面那种顺序寻找的
char d[] = {'D','L','R','U'};
bool in(int x, int y)
{
    return 0 <= x && x < 30 && 0 <= y && y < 50;
}
struct node
{
    int x, y;
    string d;//标记路径
};
string bfs()
{
    queue<node> q;//定义一个结构体类型的队列
    node p;
	p.x = 0;
	p.y = 0;
	p.d = "";
	vis[0][0] = true;//标记已经走过
	q.push(p);//将开头的元素压入队列中
	while (!q.empty())//当队列中有元素的时候
    {
        node now = q.front();//每一次我们拿出队首的状态，然后队首出去，即访问队首把队首的状态给新建的now
        if (now.x == 29 && now.y == 49)
            return now.d;
        q.pop();//取出队首
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        {
            int tx = now.x + dir[i][0];
            int ty = now.y + dir[i][1];
            if (in(tx, ty) && maze[tx][ty] != '1' && !vis[tx][ty])
            {
                    vis[tx][ty] = true;
                    node next;
                    next.x = tx;
                    next.y = ty;
                    next.d = now.d + d[i];//标记我们走过的路径
                    q.push(next);
            }
        }
    }
    return "";
}
int main()
{
    for (int i = 0; i < 30; i++)
    {
        cin >> maze[i];
    }
    string str = bfs();
    cout << str << endl;
    return 0;
}

▪ F 特别数的和（第十届蓝桥杯）

Description

小明对数位中含有 2、0、1、9 的数字很感兴趣（不包括前导 0），

在 1 到40 中这样的数包括 1、2、9、10 至 32、39 和 40，共 28 个，他们的和是 574。

请问，在 1 到 n 中，所有这样的数的和是多少？

Input

输入一行包含一个整数 n。

Output

输出一行，包含一个整数，表示满足条件的数的和。

思路：这题挺简单的，就是平常的做法，输入的n值也不是很大，写一个judge函数判断数是否含有2、0、1、9等数字，有的话就累加到sum中即可

代码实现

![QQ图片20210307230831](C:\Users\费泽涛\Desktop\图片\QQ图片20210307230831.png)#include <iostream>
using namespace std;
int judge(int x)
{
    int flag = 0;
    while(x)
    {
        int t = x % 10;
        if (t == 2 || t == 0 || t == 1 || t == 9)
        {
            flag = 1;
        }
        x /= 10;
    }
    return flag;
}
int main()
{
    int n;
    int sum = 0;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (judge(i))
            sum += i;
    }
    cout << sum << endl;
    return 0;
}

视频学习

初步了解完全二叉树

也引用了这篇博客

出处：深入学习二叉树(一) 二叉树基础

1 重点概念

1.1 结点概念

结点是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。

1.2 树结点声明

本系列文章中提及的结点专指树的结点。例如：结点A在图中表示为：

2 树

2.1 定义

**树（Tree）**是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、…、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

此外，树的定义还需要强调以下两点：
1）n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。
2）m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。
示例树：
图2.1为一棵普通的树：

图2.1 普通树

由树的定义可以看出，树的定义使用了递归的方式。递归在树的学习过程中起着重要作用，如果对于递归不是十分了解，建议先看看递归算法

2.2 结点的度

结点拥有的子树数目称为结点的度。
图2.2中标注了图2.1所示树的各个结点的度。

图2.2 度示意图

2.3 结点关系

结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
图2.2中，A为B的双亲结点，B为A的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
图2.2中，结点B与结点C互为兄弟结点。

2.4 结点层次

从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。
图2.3表示了图2.1所示树的层次关系

图2.3 层示意图

2.5 树的深度

树中结点的最大层次数称为树的深度或高度。图2.1所示树的深度为4。

3 二叉树

3.1 定义

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。
图3.1展示了一棵普通二叉树：

3.2 二叉树特点

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：
1）每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

3.3 二叉树性质

1）在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。（i>=1）
2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1）
3）n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数。
4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
5）若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：

(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

3.5 满二叉树

满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有：
1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
2）非叶子结点的度一定是2。
3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

图3.4 满二叉树

3.6 完全二叉树

完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
图3.5展示一棵完全二叉树

特点：
1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。
2）最下层的叶子结点集中在树的左部。
3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。
注：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立。

二叉树

▪ 非线性结构

▪ 数据元素（结点）按分支关系组织起来的结构

▪ 每个结点最多有俩个子树的有序树

结点与度

度就是一个结点下面的子树，度为几就是一个结点下面有几个树，度为0的结点是叶子结点，D和E是B的度

完全二叉树的特点

▪ 叶子结点只可能在最大俩层出现
\QQ图片20210307231637.png)]
红笔的1 2 3是树的层次，只有倒数第一和倒数第二的层次才能有叶子结点

▪ 对任意一结点，如果其右子树的最大层次为L，则其左子树的最大层次为L或L + 1(换言之子树必须向左对齐)
片\QQ图片20210307231833.png)]
如在3下面加一个右子树7是不行的，必须先加一个左子树，才能加上这个右子树7

▪ 度为1的结点只有0或1个

非完全二叉树和完全二叉树的区别

非完全二叉树可以单独存在右子树，完全二叉树子树一定要先左子树，再右子树，不能单独存在右子树。