数据结构篇（四）：_数据结构篇 -哈希表-优快云博客

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本文深入探讨了二叉搜索树的特性，包括其查找、插入和删除操作，并介绍了平衡二叉树的概念，强调了保持树平衡对于优化查找效率的重要性。通过实例展示了如何通过右旋和左旋调整平衡因子，确保树的平衡状态。此外，还讨论了不同插入顺序对树平均查找长度的影响，揭示了平衡二叉树在最佳情况下能达到的查找效率。

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数据结构篇（四）：

这次开始我们树的第二讲，让我们直接进入正题。

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数据结构篇（四）：

（一）.二叉搜索树

一般来说我们都用二叉树解决动态查找（经常发生插入和删除）的问题（取决于它的高效率）。

那么，为什么二叉搜索树的效率会这么好呢？

因为我们将查找的数据实现实现了有效的排序，这样我们就形成了一个判定树，它的查找效率是树的高度。放在树上的动态性比较强，插入删除比在线性里面做容易。

其中，二叉搜索树，一棵二叉树，可以为空，如果不为空，满足以下性质:

1.非空左子树的所有键值小于其根结点的键值。

2.非空右子树的所有键值大于其根结点的键值。

3.左、右子树都是二叉搜索树。

在这里插入图片描述

如图，让我们判断一下它是不是二叉搜索树。

因为，对10这个结点，5不满足右子树的键值大于根结点的键值。

二叉树的查找操作：

（1）.从根节点开始，如果树为空，返回NULL

（2）.若搜索树非空，则根结点关键字和X进行比较，并进行不同处理:

若X小于根结点键值，只需在左子树中继续搜索

如果X大于根结点的键值，在右子树中进行继续搜索

若两者比较结果是相等，搜索完成，返回指向此结点的指针

代码实现如下：

尾递归实现：

Position Find(ElementType X, BinTree BST)
{
    if(!BST) return NULL; //如果树为空，返回空
    if(X>BST->Data)
        return Find(X,BST->Right); //右子树遍历查找
    else(X<Bst->Data)
        return Find(X,BST->Left);	//左子树遍历查找
    else 
        return BST;		//查找失败
}

循环实现：

Position IterFind(ElementType X,BinTree BST)
{
    while(BST)  //	如果树非空
    {
        if(X>BST->Data)	
            BST = BST->Right;	//右子树遍历查找
        else if(x<BST->Data)
            BST = BST->Left;	//左子树遍历查找
        else
            return BST;
    }
    return NULL;
}

找到最小元素：

Position FindMin(BinTree BST)
{
    if(!BST) return NULL;
    else if(!BST->Left)
        return BST;
    else
        return FindMin(BST->Left);
}

找到最大元素：

Position FindMax(BinTree BST)
{
    if(BST)
        while(BST->Right)
            BST = BST->Right;
    return BST;
}

插入元素：

BinTree Insert(ElementType X,BinTree BST)
{
    if(!BST)	//找到位置后创建结点
    {
    	BST = malloc(sizeof(struct TreeNode));
        BST->Data = X;
        BST->Left = BST->Right = NULL;
    }else
        if(X<BST->Data)	//遍历查找位置
            BST->Left = Insert(X,BST->Left);
        else if(X>BST->Data)
        	BST->Right = Insert(X,BST->Right);
        return BST;
}

删除操作：

删除操作一般分三种。

（1）若删除节点为叶节点

直接删除，并再修改其父结点指针—置为NULL

如图，若我们想删除结点35：

在这里插入图片描述

找到结点后直接删除就好，如下图：

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（2）删除结点带有一个子节点

如图，假设我们想删除33结点：

在这里插入图片描述

我们找到对应的结点，然后将其带的父节点41指向其子节点35，如图：

在这里插入图片描述

（3）删除结点有左、右两个子节点

我们一般采用另一结点替代被删除结点:右子树的最小元素或者左子树的最大元素，因为他们一定不是有两个子节点的节点。

代码实现：

BinTree Delete(ElementType X,BinTree BST)
{
    Position Tmp;
    if(!BST) printf("要删除的元素未找到")：
    else if(X<BST->Data)
        BST->Left = Delete(X,BST->Left); //左子树递归删除
    else if(X>BST->Data)
        BST->Right = Delete(X,BST->Right);//右子树递归删除
    else	//找到删除结点
        if(BST->Left&&BST->Right) //如果被删除结点有两个子结点
        {
            Tmp = FindMin(BST->Right);
            //找到右子树中最小的结点填补空缺结点
            BST->Data = Tmp->Data;
            BST->Right = Delete(BST->Data,BST->Right);//删除右子树最小的结点
        }else	//被删除结点只有一个结点或无孩子结点
        {
            Tmp = BST;
            if(!BST->Left)  //有右结点或无孩子结点
                BST = BST->Right;
            else if(!BST->Right);//有左结点或无孩子结点
            	BST->BST->Left;
            free(Tmp); //将第三方变量空间释放
        }
    return BST;
}

操作总结以后就是：

1.先找到需要删除的对应的结点

2.判断该需要删除的结点有几个子节点

3.如果被删除结点有两个孩子结点，则删除该结点之前，要有一个第三方变量Tmp来获取右子树最小值或左子树最大值，来填补这个缺失的结点，并且将获取到的结点删除。

4.如果被删除结点只有一个结点或无孩子结点，则判断结点的类型，再用其子树代替它删除后的位置。

（二）.平衡二叉树

首先，搜索树结点不同插入次序，将导致不同的深度和平均查找长度ASL。

结点插入次序不同时，查找所花费的平均查找次数也不同。

如下：
在这里插入图片描述

上述两幅图，就鲜明的跟我们体现出来了，不同次序导致树的长度不一样，但是，我们怎么知道平均的查找次数是不是一样呢？

其中，第一幅图中，树的平均查找长度ASL为：（1+2×2+3×3+4×3+5×2+6×1）/12 = 3.5

第一行每个结点比较一次，第二行每个结点比较两次，第三行每个结点比较三次，以此类推，就可以列出上式。

第二幅图中，树的平均查找长度ASL为：3.0（按上述方法计算）

可见，不同的次序，同样导致了查找次数的不同。

同时，相比第一第二张图的ASL，我们发现第二幅图的查找次数更少，效果更好，为什么呢？我们观察它的结构，发现它两边的子树分布的个数比较均匀，长度也相近，即比较平衡。这就引出了我们要讲的——平衡二叉树。

让我们先来了解下平衡因子（左右两个子树的高度差），通常如果不是空树的话，我们不希望它的值超过1。

在这里插入图片描述

上图这种结构，大家猜猜是不是平衡二叉树。

答案是不是，因为你看3结点左边子树的高度为2，而右边为0，所以左右两边的高度查>1，所以不是平衡二叉树。

下图是不是平衡二叉树呢？

在这里插入图片描述

答案为是，因为它每个结点两边的子树高度差都不大于一，所以它为平衡二叉树。

那下图是不是呢：

在这里插入图片描述

答案为不是，因为对7结点来说，左边的层数比右边多两层，所以它不是平衡二叉树。

平衡二叉树这么好用的话，那它的高度能达到log2n吗？

设nh高度为h的平衡二叉树的最少结点数。结点数最少时:

当高度h = 0时，

在这里插入图片描述

最少结点数为1；

当高度h = 1时，

我们有两种情况，一种是左右两边子树都有，一种是某边缺了一个结点。

在这里插入图片描述

所以最少的结点数为2；

当高度h = 2时，

在这里插入图片描述

如图，此时为结点个数最少的情况，当最左边的结点删除后，那么剩下的树就不是平衡二叉树，当右子树的左结点删除后，则h就不是2了。

所以此时最少结点数为4；

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