[leetcode 913] 猫和老鼠（博弈、dp）

题目链接：

https://leetcode-cn.com/problems/cat-and-mouse/

题目大意：

在一张无向图中，老鼠开始处于1号点，猫开始处于2号点，0号点是洞（猫不能进入），猫鼠交替移动（老鼠先）。
若老鼠能进入洞中，即老鼠胜，输出1；若猫能抓住老鼠（猫鼠同在一共点），即猫胜，输出2；否则则为平局，输出0。

解题思路：

这题可以用状态转移，将初始状态转移到已知的胜负的状态中。

我们可以使用一个三维数组 $dp[i][j][k]$ 表示当老鼠在 $i$ 位置，猫在 $j$ 位置，游戏进行了 $k$ 轮时的胜负关系。

那么，我们可以先把确定的胜负关系罗列一下：

1.当老鼠位于0号点位时，老鼠必胜，即 $dp[0][j][k]=1$
2.当猫鼠位于相同位置时，猫必胜，即 $dp[x][x][k]=2$
3.当游戏进行2*n轮之后，即可认定为是平局的情况，即 $dp[i][j][2\ast n]=0$
（猫鼠都进行了n轮游戏，若仍未能分出胜负，则代表至少存在1个点老鼠已经到达两次，则说明无论对于猫鼠，都已经不再存在必胜点了）

而对于状态转移，可以遵循几个关系：

1.若下一步存在能够必胜的状态，则可以直接转移过去，即可直接确定必胜关系，结束遍历
2.若下一步只存在必败状态，则可直接确定必败关系，结束遍历
3.若下一步存在仍不确定（或必和）的状态，可先移动至此，再继续寻找后续必胜状态

因为移动的先后关系，我们可以将奇数回合当为老鼠移动，而偶数回合即为猫移动
对此，只需再注意一个点，即猫不能去到0号点即可

上代码：

class Solution {
public:
    int n,dp[55][55][105];
    vector< vector<int> > p;
    int catMouseGame(vector<vector<int>>& graph) {
        n=graph.size();
        p=graph;
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        return GetResult(1,2,0);
    }
    int GetResult(int x,int y,int turn)
    {
        if(turn>=2*n)   //回合数大于2*n，返回和状态
            return 0;
        if(dp[x][y][turn]==-1)
        {
            if(x==0) dp[x][y][turn]=1;  //老鼠入洞，老鼠胜
            else if(x==y) dp[x][y][turn]=2;   //猫抓到老鼠，猫胜
            else dp[x][y][turn]=GetNext(x,y,turn);  //若不能确定，则继续找
        }
        return dp[x][y][turn];
    }
    int GetNext(int x,int y,int turn)
    {
        int move=turn%2==0?x:y;   //确定当前回合移动的对象（猫、鼠）
        int defaultResult=move==x?2:1;   
        int result=defaultResult;  //将初始胜负状态确定为必败
        for(int i:p[move])
        {
            if(move==y&&i==0)  //猫不能到达0号点
                continue;
            int nx=move==x?i:x;
            int ny=move==y?i:y;
            int next=GetResult(nx,ny,turn+1);  //找下一个点的胜负关系
            if(next!=defaultResult)
            {
                result=next;
                if(next!=0)   //若这个点不是和的状态（即必胜必败已定），即可退出遍历
                    break;
            }
        }
        return result;
    }
};