P1616 疯狂的采药（完全背包问题）

思路

这个问题非常类似于 01 背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取 0 件、取 1 件、取 2 件……等很多种。
将 01 背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int V=w[i];V<=v;V++){
dp[V]=max(dp[V],dp[V-w[i]]+c[i]);//状态转移方程
}
}
这个代码与 01 背包问题的代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么 01 背包问题中要按照 v=V∼0 的逆序来循环。
这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第 i 件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第 i件物品的子结果 f[i-1][v-w[i]]。

而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第 i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果 f[i][v-w[i]]，所以就可以并且必须采用v=0∼V 的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。 　　
这个算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-w[i]]+c[i]}，将这个方程用一维数组实现。

一个简单有效的优化

完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品 i、j满足
w[ i ]<w[ j ]且c[ i ]<c[ j ]则将物品 j去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高的 j换成物美价廉的 i，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long//注意开 long long
int w[100005],c[100005];
int dp[10000005];//数组 1e7
signed main(){
    int v,n;
    cin>>v>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>w[i]>>c[i];
    }//输入
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int V=w[i];V<=v;V++){
            dp[V]=max(dp[V],dp[V-w[i]]+c[i]);//状态转移方程
        }
    }
    cout<<dp[v];//输出
    return 0;
}