动态规划：leetcode 62.不同路径、63.不同路径II

leetcode 62.不同路径

leetcode 63.不同路径II

leetcode 62.不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

• 输入：m = 3, n = 7

• 输出：28

示例 2：

• 输入：m = 2, n = 3

• 输出：3

解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下

2. 向右 -> 向下 -> 向右

3. 向下 -> 向右 -> 向右

机器人从(0 , 0) 位置出发，到(m - 1, n - 1)终点。

动规五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

2. 确定递推公式

想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。

此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理。

那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。

3. dp数组的初始化

想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。

此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理。

那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。

for(int i = 0; i < m; i++){
    dp[i][0] = 1;
}
for(int j = 0; j < n; j++){
    dp[0][j] = 1;
}

4. 确定遍历顺序

这里要看一下递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。

5. 举例推导dp数组

如图所示：

整体代码如下：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        for(int i = 0; i < m; i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int j = 0; j < n; j++){
            dp[0][j] = 1;
        }
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

leetcode 63.不同路径II

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

• 输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]

• 输出：2 解释：

• 3x3 网格的正中间有一个障碍物。

• 从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：

1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下

2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

上题中我们已经详细分析了没有障碍的情况，有障碍的话，其实就是标记对应的dp table（dp数组）保持初始值(0)就可以了。

动规五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

2. 确定递推公式

递推公式和62.不同路径一样，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。

但这里需要注意一点，因为有了障碍，(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）。

if(obstaclesGrid == 0){
    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}

3. dp数组如何初始化

如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。

如图：

所以本题的初始化代码要在上一题的基础上做一些修改：

vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for(int i = 0; i < m && obstaclesGrid[i][0] == 0; i++){
    dp[i][0] = 1;
}
for(int j = 0; j < n && obstaclesGrid[0][j] == 0; j++){
    dp[0][j] = 1;
}

4. 确定遍历顺序

从递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 中可以看出，一定是从左到右一层一层遍历，这样保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值。

5. 举例推导dp数组

拿示例1来举例如题：

整体代码如下：

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
        if(obstacleGrid[0][0] == 1 || obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1)
            return 0;
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        for(int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++){
            dp[0][j] = 1;
        }
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                if(obstacleGrid[i][j] == 0){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
                }
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};