单分子科学原理与模型笔记 Part IV

Chapter VIII Single Molecule Mechanics

Single-molecule Springs: Origins of Molecular elasticity

对于抛物线形势能曲线，有：
$$V(R)\approx V(R_0)+(1//2)V^{\prime \prime }(R_0)(R-R_0{)}^2$$
$$V(x)\approx (1/2){\gamma }_0{x}^2$$

若拉力 $f$ 作用在分子上使其发生拉伸 $dx$，则有：
$$dW=-fdx$$

等于势能改变量：
$$-fdx=dV=V^{\prime }(x)dx$$

可推得：$f=-V^{\prime }(x)$

Hooke 定律：
$$f=-V^{\prime }(x)=-{\gamma }_{0}x$$

生物大分子大多是链状的大型聚合物。

Thermal motion comes into play

热运动带来的力：
$$p=N{k}_{B}T/v$$

对处于周围分子环境中的一个分子，它的总能不再固定。而是变为一个概率正比于玻尔兹曼因子 $e^{-\beta E_i(x)}$ 的涨落量。

在特定的状态 $i$，其恢复力 (restoring force) 为：
$$f_i(x)=-\frac{d{E}_i(x)}{dx}$$

分子处于状态 $i$ 的概率为：
$$w_i(x)=e^{\beta E_i}(x)/\sum _i{e}^{-\beta E_i(x)}$$

平均的 restoring force 为：
$$f=-\sum _i{w}_i(x)\frac{d{E}_i(x)}{dx}=-\frac{dG}{dx}$$

可推得：
$$e^{-\beta G(x)}=\sum _i{e}^{-\beta E_i(x)}$$

这样就有了自由能 $G(x)$ 的定义。

再结合 $w(x)=\frac{\sum _i{e}^{-\beta E_i(x)}}{\sum _{i,x}{e}^{-\beta E_i(x)}}$

因此有：
$$G(x)=-k_{B}T\ln w(x)+const$$

这与拉伸量 $x$ 的零力、平衡概率分布对的分子力学响应相联系。注意，对于一维粒子，自由能就是势能。

The freely jointed chain model

freely jointed chain (FJC): 自由链节链”或“自由连接链”。一种理想化的聚合物链模型，链节之间可以自由旋转而没有任何限制。有 $L=Nl$，两个末端在互相周围涨落且有：
$$⟨\vec{x}⟩=\sum _i⟨r_i⟩=0$$

每个 $\overrightarrow{r_i}$ 相互独立，根据中心极限定理它们的分布遵循均值为 0，方差如下的 Gaussian 分布：
$$⟨{\sigma }_x^2⟩=⟨{\sigma }_y^2⟩=⟨{\sigma }_z^2⟩=N\frac{l^2}{3}$$
$$⟨\sigma ⟩=⟨{\sigma }_x^2⟩+⟨{\sigma }_y^2⟩+⟨{\sigma }_z^2⟩=N{l}^2=Ll$$

末端-末端距离遵循如下概率分布：
$$w(x)=(\frac{3}{2\pi N{l}^2}{)}^{1/2}{e}^{-\frac{3x^2}{2N{l}^2}}$$

从而自由能，力，力常数：
$$G(x)=\frac{3k_{B}T{x}^2}{2N{l}^2}+const$$
$$f(x)=-\frac{3k_{B}Tx}{N{l}^2}$$
$$\gamma =\frac{3k_{B}T}{N{l}^2}$$

$$R_g=\sqrt{\frac{N}{6}}l$$

How Does Temperature Affect a Rubber Band

对于一个恢复力做的正功 $dW=fdx$，满足：
$$dW=-dE+dQ$$

根据 $dG=-dW$，可得：
$$dG=dE-dQ$$

系统平均能量：
$$E=\sum _i{w}_i(x)E_i(x)$$

再结合 $e^{-\beta G}=\sum _i{e}^{-\beta E_i}$ 有：
$$dQ=dE-dG=\sum _i(E_{i}d{w}_i+w_{i}d{E}_i)+\frac{1}{\beta }d\ln \sum _i{e}^{-\beta E_i}$$

引入熵：
$$S=k_B\sum _i{w}_i\ln w_i$$

可见，$dQ=TdS$。推导方法：对上式微分，与 ${\sum }_{i}d{w}_i$ 成正比的项都为 0，因为 ${\sum }_{i}d{w}_i$ 必然为常数 1。

假定所有 $w_i$ 都相等，$\Omega =\frac{1}{w_i}$ 为状态 $i$ 的微观状态数，那么：
$$S=k_B\ln \Omega$$

注意到：
$$dG=dE-TdS=d(E-TS)$$

从而可将 $G$ 表达为：
$$dG(x)=E(x)-TS(x)$$

那么恢复力：
$$f(x)=-\frac{dG(x)}{dx}=-\frac{dE(x)}{dx}+\frac{TdS(x)}{dx}$$

$\frac{TdS(x)}{dx}$ 可称为熵力 (Entropic Force)。

熵力的例子：

• 随机聚合物 (random polymer) 的恢复力
• 理想气体施加在活塞上的压力。

THERMODYNAMICS AND KINETICS OF MECHANICALLY RUPTURED BONDS

如图，总自由能为：
$$\tilde{G}(X,x)=G(x)+\gamma (X-x{)}^2/2$$

stiff trap 近似下 $x\approx X\Rightarrow \tilde{G}(X,x)\approx G(x)$

而事实上：
$$\tilde{G}(X,x)=G(x)+\gamma X^2/2-\gamma Xx+\sout{\gamma x^2/2}$$

soft pulling 意味着分子的刚性远强于 trap 的：
$$G(x)={\gamma }_0{x}^2/2,{\gamma }_0\gg \gamma$$

扔掉小量，得到近似：
$$\tilde{G}(X,x)\approx G(x)-fx+\gamma X^2/2$$

其中 $f=\gamma X$。分子面临着和 $x$ 有关的势函数：
$$G_f(x)=G(x)-fx$$

其中 $-fx$ 类似于重力势能 $-mgh$，$f=X\gamma$ 为常数。拉伸量 $x$ 对应的概率分布为：
$$w_f(x)=A{e}^{-\beta G_f(x)}$$

这个分布的最大值在 $x_m$ 处达到，满足：
$$\frac{d{G}_f(x_m)}{dx}=G^{\prime }(x_m)-f=0$$

$f=G^{\prime }(x_m)$ 非负，因为这里 $f$ 就是作用在分子上的力，它描述了最可能的拉伸量涨落。实际可以测到的是平均位置：
$$⟨x⟩=\int dxx{w}_f(x)$$

考虑图示过程：
$$metastablecomplex\stackrel{k(f)}{\to }fragments$$

根据 TST：
$$k(f)=v{e}^{-\frac{\Delta G(f)}{k_{B}T}}$$

结合：
$$\Delta G(f)\approx \Delta G(0)-f\Delta x$$

得到 Eyring-Zhurkov-Bell 公式：
$$k(f)=k(0)e^{\frac{f\Delta x}{k_{B}T}}$$

Slip Bonds vs Catch Bonds

前面得到的 Eyring-Zhurkov-Bell 公式 $k(f)=k(0)e^{\frac{f\Delta x}{k_{B}T}}$ 告诉我们：速率随力指数增长。但有例外，势垒随力增加，也就是速率随力减小，这称为 catch bond。常以互锁形式出现：

1-D 模型不适用，改用二维：
$$G(x,y)=-k_{B}T\ln w(x,y)+const$$

力变为：
$$G_f(x,y)=G(x,y)-fx$$

变量 $y$ 并不与机械力 $f$ 耦合。

Force-induced Unfolding And Other Conformational Transitions Influenced By Forces

Extension to Other Scenarios: the Nanopore Experiments

如果力是电场 $E$ 带来的，假定 $E$ 是常电场，作用方向为 $z$ 轴，那么相互作用能为：
$$-E\sum _i{q}_i{z}_i$$

令 $f=\sum _i{q}_i$，定义有效坐标 $x=\frac{\sum _i{q}_i{z}_i}{\sum _i{q}_i}$

则相互作用能还是可以表达为：
$$-fx$$

Elastic Response of A Freely Jointed Chain Beyond Hooke’s Law

虎克定律 $f=-\frac{3k_{B}Tx}{n{l}^2}$ 仅在形变量远小于充分拉伸分子长度时有效。

Beyond Hooke’s Law : the Chain Partition Function

FJC random walker 的位置 ${\mathbf{r}}_{\mathbf{i}},i=0,1,\dots$ 满足 $|{\mathbf{r}}_{\mathbf{i}}-{\mathbf{r}}_{\mathbf{i}-1}|=l$。认为 FJC 链没有内能，总能就是外力做功的结果：
$$E(\mathbf{f},{\mathbf{r}}_0,\dots ,{\mathbf{r}}_{\mathbf{n}})=-\mathbf{f}({\mathbf{r}}_{\mathbf{n}}-{\mathbf{r}}_0)$$

平均链拉伸课表达为：
$$⟨{\mathbf{r}}_{\mathbf{n}}-{\mathbf{r}}_0⟩=\frac{\sum _{configuration}({\mathbf{r}}_{\mathbf{n}}-{\mathbf{r}}_0)e^{\beta \mathbf{f}({\mathbf{r}}_{\mathbf{n}}-{\mathbf{r}}_0)}}{\sum _{configuration}{e}^{\beta \mathbf{f}({\mathbf{r}}_{\mathbf{n}}-{\mathbf{r}}_0)}}$$

引入链配分函数：
$$q=\sum _{configuration}{e}^{\beta \mathbf{f}({\mathbf{r}}_{\mathbf{n}}-{\mathbf{r}}_0)}$$

有：
$$⟨{\mathbf{r}}_{\mathbf{n}}-{\mathbf{r}}_0⟩=\frac{1}{q\beta }\frac{dq}{d\mathbf{f}}=k_{B}T\frac{d\ln q}{d\mathbf{f}}$$

Beyond Hooke’s Law : Mean Extension vs Force
若使用积分计算配分函数 ($l_i=r_i-r_{i-1},r_n-r_0=l_1+\dots l_n$)：
$$q=C\int d^3{r}_0{d}^3{l}_1\dots d^3{l}_n{e}^{\beta \mathbf{f}({\mathbf{l}}_1+\cdots +{\mathbf{l}}_{\mathbf{n}})}=CV[\int d^3\mathbf{l}\exp (\beta \mathbf{f}){]}^n$$

其中有 $V=\int d^{3}d{\mathrm{r}}_0$

变换坐标系 $l=(|\mathbf{l}|,\theta ,\varphi )$，得到：
$$l_x=l\sin \theta \cos \varphi$$
$$l_y=l\sin \theta \sin \varphi$$
$$l_z=l\cos \theta$$

此时 $\mathbf{f}$ 并不是力，而是：
$$\mathbf{f}=fl\cos \theta$$

$$\int d^3\mathbf{l}\exp (\beta \mathbf{f})={\int }_0^{2\pi }d\varphi {\int }_0^{\pi }{l}^2\sin \theta \exp (\beta fl\cos \theta )d\theta \propto (\frac{\exp (\beta fl)-\exp (-\beta fl)}{\beta fl})$$

那么 $q\propto (\frac{\exp (\beta fl)-\exp (-\beta fl)}{\beta fl}{)}^n$

因此：
$$|⟨{\mathbf{r}}_{\mathbf{n}}-{\mathbf{r}}_0⟩|=k_{B}T\frac{d\ln q}{df}=k_{B}Tn[\frac{l}{k_{B}T}coth(\frac{fl}{k_{B}T})-\frac{1}{f}]$$

当 $fl\ll k_{B}T$ 时，$cotha\approx 1/a+a/3+\dots$:
$$|⟨{\mathbf{r}}_{\mathbf{n}}-{\mathbf{r}}_0⟩|=\frac{n{l}^{2}f}{3k_{B}T}$$
显示出 Hooke 定律行为。

当 $fl\gg k_{B}T$ 时:
$$|⟨{\mathbf{r}}_{\mathbf{n}}-{\mathbf{r}}_0⟩|\to nl[1-\frac{k_{B}T}{fl}+2e^{-2\frac{fl}{k_{B}T}}]$$
接近完全拉伸，Hooke 定律失效。

Chapter IX Non-equilibrium Thermodynamics of Single Molecules

The Gibbs Free Energy

焓的定义：
$$H\equiv U+pV$$

要凭空创造出一个系统，先要给予能量 $U$，再加上 $pV$ 来推开气体。

吉布斯自由能的定义：
$$G\equiv U-TS+pV$$

大小为 $TS$ 的能量会自发流入，再减去 $TS$ 即可。

Gibbs Free Energy or Helmholtz Free Energy

G 是的一定温度、压力下相的稳定性的量度，$G=f(T,p)$。满足：
$$dG=Vdp-SdT$$

体系自由能减少量 ＝ 可提供环境最大非体积功(有用功)。

A 衡量的是是系统能做的最大总功，$A=f(T,V)$
$$A=U-TS$$
$$dA=-SdT-pdV$$

这里使用 $G$ 作为自由能，$q$ 为配分函数：
$$G=-k_{B}T\ln q$$
$$q=e^{-\frac{G}{k_{B}T}}$$

Extension and Contraction of Molecular Springs

考虑在势场 $\gamma (X-x{)}^2/2$ 下，分子由 $X(0)=x_1$ 被拉拽至 $X(\tau )=x_2$。假设有：
$$G(x_2)-G(x_1)\gg k_{B}T$$

则分子可在外力下达到不太可能占据的状态。

The Work Performed On the Molecule by the Pulling Device

拉拽设备做的功可由每个瞬间的力对位移积分得到：
$$W_{12}={\int }_0^{\tau }f(t)dx(t)={\int }_0^{\tau }\gamma [X(t)-x(t)]\dot{x}(t)dt$$

$x$ 为考虑 $\gamma [X(t)-x(t)]$ 时的 (过阻尼) Langevin 方程的解：
$$0=-\gamma (x-X)-G^{\prime }(x)\dot{x}-\eta \dot{x}+R(t)$$

移项后两边同乘 $\dot{x}$：
$$\gamma (X-x)=G^{\prime }(x)\dot{x}\dot{x}+\eta {\dot{x}}^2-R(t)dotx$$

功可表达为：
$$W_{12}=G[x(\tau )]-G[x(0)]+\eta {\int }_0^{\tau }dt\dot{x}-{\int }_0^{\tau }dtR(t)\dot{x}(t)$$

拉伸过程很慢，$\dot{x}\to 0$，后两项忽略：
$$W_{12}=G[x(\tau )]-G[x(0)]$$

拉拽设备足够 stiff 时：
$$x(0)\approx x_1=X(0);x(\tau )\approx x_2=X(\tau )$$

从而有：
$$W_{12}=G(x_2)-G(x_1)$$

$x_1,x_2$ 为实验可控量。

令：
$$\begin{array}{rl}{W}_{12}& =G[x(\tau )]-G[x(0)]+\eta {\int }_0^{\tau }dt\dot{x}-{\int }_0^{\tau }dtR(t)\dot{x}(t)\\ & =\Delta G+W_{dis}+W_R\end{array}$$

第一项为自由能变化量；第二项为摩擦力耗散下产生的热量；第三项由随机导致，$W_R>0$ 有助于拉伸；$W_R<0$ 对拉伸起反作用。

由于 $⟨R(t)⟩=0$，与 $x(t)$ 无关：
$$⟨W_R⟩=0$$

且：
$$W_{dis}\ge 0$$

可见：
$$⟨W_{12}⟩=\Delta G+⟨W_{dis}⟩+⟨W_R⟩\ge \Delta G\approx G(x_2)-G(x_1)$$

或：
$$⟨W_{12}⟩\ge G(x_2)-G(x_1)$$

Contraction : the Work Performed On the Pulling Device by the Molecule

分子在拉拽设备上做的功：
$$W_{12}^{\star }=-{\int }_0^{\tau }f(t)dx(t)={\int }_0^{\tau }\gamma [X(t)-x(t)]\dot{x}(t)dt$$

类似地，可以得到：
$$\begin{array}{rl}{W}_{12}^{\star }& =G[x(0)]-G[x(\tau )]-\eta {\int }_0^{\tau }dt\dot{x}+{\int }_0^{\tau }dtR(t)\dot{x}(t)\\ & =\Delta G-W_{dis}+W_R\end{array}$$

第一项为自由能变化量，与拉伸的始末状态相反；第二项为摩擦力耗散下产生的热量；第三项由随机导致，$W_R>0$ 有助收缩；$W_R<0$ 对收缩起反作用。

也有：
$$⟨W_{12}^{\star }⟩=\Delta G-⟨W_{dis}⟩+⟨W_R⟩\le \Delta G\approx G(x_2)-G(x_1)$$

或：
$$⟨W_{12}^{\star }⟩\le G(x_2)-G(x_1)$$

可见
$$⟨W_{12}⟩\ge ⟨W_{12}^{\star }⟩$$

Supersystem and the work

Supersystem: 考虑所有分子的自由度，再加上足够的溶剂分子作为一个鼓励体系。使用 $\vec{r},\vec{p}$ 作为每个粒子的坐标和动量。

初始能量为 $E_0(\vec{r},\vec{p})$ (与时间无关)。

引入一个与时间有关的微扰：$V(X(t),\vec{r})=\frac{1}{2}\gamma [x(t)-X(t){]}^2$，总能变为：$E(\vec{r},\vec{p})=E_0(\vec{r},\vec{p})+V(X(t),\vec{r})$。则系统根据下式演化：
$$\frac{dE}{dt}=-\frac{dV}{dt}=\gamma [X(t)-x(\vec{r})]\dot{X}$$

$$f(t)=\gamma [X(t)-x(\vec{r})]\dot{X}$$
$$W_{12}={\int }_0^{\tau }f(t)dx(t)={\int }_0^{\tau }\gamma [X(t)-x(t)]\dot{x(t)}dt$$
$${\tilde{W}}_{12}={\int }_0^{\tau }f(t)dX(t)={\int }_0^{\tau }\gamma [X(t)-x(t)]\dot{X(t)}dt$$

$W_{12}$ 和 ${\tilde{W}}_{12}$ 分别是使用分子拉伸量和控制设备坐标的表达式，那么有：
$$\delta W_{12}={\tilde{W}}_{12}-W_{12}={\int }_0^{\tau }\gamma (X-x)(\dot{X}-\dot{x})dt=\frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }\frac{d}{dt}[\gamma (X-x{)}^2]dt=\frac{\gamma [X(\tau )-x(\tau ){]}^2}{2}-\frac{\gamma [X(0)-x(0){]}^2}{2}$$

$\delta W_{12}$ 为设备额外存储或释放的能量。

Exact Relationships Between Free Energy and Nonequilibrium Work

已经得到：
$$W_{12}\ge G(x_2)-G(x_1)\ge W_{12}^{\star }$$

Chris Jarzynski 发现：
$$⟨e^{-\frac{{\tilde{W}}_{12}}{k_{B}T}}⟩=e^{-\frac{G_2-G_1}{k_{B}T}}$$

如果使用足够 stiff 的设备：
$$⟨e^{-\frac{{\tilde{W}}_{12}}{k_{B}T}}⟩=e^{-\frac{G(x_2)-G(x_1)}{k_{B}T}}$$

剩余功有：
$$⟨e^{-\frac{\Delta {\tilde{W}}_{12}}{k_{B}T}}⟩=1$$

其中剩余功 $\Delta {\tilde{W}}_{12}={\tilde{W}}_{12}-[G(x_2)-G(x_1)]$

The Proof of Jarzynski Identity

始态：$E_1,X(0)=x_1$，输入拉力的功 ${\tilde{W}}_{12}$ 后终态：$E_2,X(\tau )=x_2$

总能可表达为：$E(\vec{r}(t),\vec{p}(t);t)=E_0(\vec{r}(t),\vec{p}(t))+V(X(t),\vec{r})$

始态处于热平衡，初始位置的概率分布与 Boltzmann 因子 $\exp (-\frac{E_1}{k_{B}T})$ 成正比。

其中 $E_1(\vec{r}(0),\vec{p}(0))=E(\vec{r}(0),\vec{p}(0);0)=E_0(\vec{r}(0),\vec{p}(0))+V(x_1,\vec{r}[0])$

${\tilde{W}}_{12}$ 是通过与初始分布有关的 $f$ 积分得到的，因此任何 ${\tilde{W}}_{12}$ 的函数 $\varphi ({\tilde{W}}_{12})$ 可根据初始分布计算平均值。令 $\varphi ({\tilde{W}}_{12})=e^{-\frac{{\tilde{W}}_{12}}{k_{B}T}}$，其平均可由下式计算:
$$⟨e^{-\frac{{\tilde{W}}_{12}}{k_{B}T}}⟩=q_1^{-1}\int d\vec{r}(0)d\vec{p}(0)\exp (-\frac{{\tilde{W}}_{12}}{k_{B}T})\exp (\frac{-E_1(\vec{r}(0),\vec{p}(0))}{k_{B}T})$$

其中 $q_1$ 为 supersystem 与 $E_1$ 有关的配分函数。

注意到，$E_1(\vec{r}(0),\vec{p}(0))+{\tilde{W}}_{12}=E_2(\vec{r}(\tau ),\vec{p}(\tau ))=E_0(\vec{r}(\tau ),\vec{p}(\tau ))+V[x_2,\vec{r}(\tau )]$

可得：
$$⟨e^{-\frac{{\tilde{W}}_{12}}{k_{B}T}}⟩=q_1^{-1}\int d\vec{r}(0)d\vec{p}(0)\exp (\frac{-E_2(\vec{r}(\tau ),\vec{p}(\tau ))}{k_{B}T})$$

根据 Liouville 定理: 沿经典轨迹相空间体积守恒。那么：
$$⟨e^{-\frac{{\tilde{W}}_{12}}{k_{B}T}}⟩=q_2/q_1$$

其中 $q_2$ 为 supersystem 与 $E_2$ 有关的配分函数。

定义联合配分函数 $q_{1,2}=e^{-\frac{G_{1,2}}{k_{B}T}}$，从而：
$$⟨e^{-\frac{{\tilde{W}}_{12}}{k_{B}T}}⟩=\exp [-\frac{G_2-G_1}{k_{B}T}]$$

$G_1,G_2$ 为对应于 $q_1,q_2$ 的配分函数，由于 $q_1,q_2$ 是与拉拽设备刚度有关的配分函数，不是分子内部属性。因此，下面的讨论将限制在在刚性弹簧之内，重写配分函数为：
$$q_{1,2}=\int d\vec{r}d\vec{p}{e}^{-\frac{E_0(\vec{r},\vec{p})}{k_{B}T}}{e}^{-\frac{\gamma (x_{1,2}-x{)}^2}{2k_{B}T}}$$

$\gamma \to \infty$ 有：
$$q_{1,2}=\sqrt{\frac{\gamma }{2\pi k_{B}T}}\int d\vec{r}d\vec{p}{e}^{-\frac{E_0(\vec{r},\vec{p})}{k_{B}T}}\delta (x_{1,2}-x)\propto w(x_{1,2})=e^{-\frac{G(x_{1,2})}{k_{B}T}}$$

$\delta$ 函数由下式定义：
$\delta (x)=\underset{b\to 0}{\lim }\frac{1}{|b|\sqrt{\pi }}{e}^{-(x/b{)}^2}$

结合 $q_{1,2}\propto w(x_{1,2})=e^{-\frac{G(x_{1,2})}{k_{B}T}}$ 和 $⟨e^{-\frac{{\tilde{W}}_{12}}{k_{B}T}}⟩=q_2/q_1$ 有：
$$⟨e^{-\frac{{\tilde{W}}_{12}}{k_{B}T}}⟩=\exp [-\frac{G(x_2)-G(x_1)}{k_{B}T}]$$

给出了实际联系拉拽设备所做的功和分子以及自由能差的方程。

Math Connections Between the Inequalities & the Identities

Jensen’s 不等式：
$$\varphi (E[X])\le E[\varphi (X)]$$

因此：$e^{⟨a⟩}\le ⟨e^a⟩$

令 $a={\tilde{W}}_{12}$ 有：
$$e^{-\frac{⟨{\tilde{W}}_{12}⟩}{k_{B}T}}\le ⟨e^{-\frac{{\tilde{W}}_{12}}{k_{B}T}}⟩=\exp [-\frac{G(x_2)-G(x_1)}{k_{B}T}]$$

那么 $⟨{\tilde{W}}_{12}⟩\ge G(x_2)-G(x_1)$

类似地 $⟨{\tilde{W}}_{12}^{\star }⟩=-⟨{\tilde{W}}_{12}⟩\le G(x_2)-G(x_1)$

根据剩余功定义 $\Delta {\tilde{W}}_{12}={\tilde{W}}_{12}-[G(x_2)-G(x_1)]$ 可得：
$$⟨\Delta {\tilde{W}}_{12}\ge 0⟩$$

但根据 Jarzynski’s equality：
$$⟨e^{-\frac{\Delta {\tilde{W}}_{12}}{k_{B}T}}⟩=1$$

说明 $\Delta {\tilde{W}}_{12}$ 又会有负值出现，负值发生的情况很稀有，但将其放在指数上会有显著影响。

The Crook’s Fluctuation Theorem

两个方向的功 ($1\to 2,2\to 1$) 的分布满足：
$$w_{12}(\tilde{W})=\exp [\frac{W-G_2+G_1}{k_{B}T}]w_{21}^{\ast }(\tilde{W})$$

这个方程告诉我们当 $\tilde{W}$ 正好等于 $G_2-G_1$ 时，拉拽设备做的功等于分子松弛过程做的功。拉拽设备刚性足够大时，$\tilde{W}$ 就等于始末位置自由能差。

The Crook’s Fluctuation Theorem and Jarzynski’s Identity

在 Crook’s Fluctuation Theorem 两边同乘 $\exp [-\frac{\tilde{W}}{k_{B}T}]$ 后积分，注意到 $w_{12}(\tilde{W}),w_{21}^{\ast }(\tilde{W})$ 都是归一化的，那么可以得到：
$$⟨\exp [-\frac{\tilde{W}}{k_{B}T}]⟩=\exp [-\frac{G_2-G_1}{k_{B}T}]$$

也就是 Jarzynski Identity。

Energy Dissipation In Biological Molecules: Sacrificial Bonds And Molecular Shock Absorbers

Chapter X Single-Molecule Phenomena in Living Systems

Equilibrium vs non-equilibrium in living systems

平衡与非平衡通常与各种时空内容相联系，活体并不与其环境达成平衡。

• 糖分燃烧，体内的分子机械显然是非平衡的。
• 我们身体很好地保持温度，是较为平衡的。

完全的平衡意味着与时间无关，也就不是生命，生命可看成是部分平衡。

Single-molecule view of enzyme catalysis

无酶参与的反应：
$$\mathrm{R}\underset{k_{P\to R}}{\overset{k_{R\to P}}{\leftrightarrow }}\mathrm{P}$$

有：
$$d{N}_R/dt=-d{N}_P/dt=-k_{R\to P}{N}_R+k_{P\to R}{N}_P$$
$$[R]=N_R/V,d[R]/dt=-d[P]/dt=-k_{R\to P}[R]+k_{P\to R}[P]$$

Michaelis-Menten (MM) mechanism (米氏机理，酶参与)：
$$\mathrm{E}+\mathrm{R}\underset{k_{-1}}{\overset{k_1}{\leftrightarrow }}ER\underset{k_{-2}}{\overset{k_2}{\leftrightarrow }}\mathrm{E}+\mathrm{P}$$

还有：
$$d[R]/dt=-k_1[E][R]+k_{-1}[ER]$$
$$d[ER]/dt=k_1[E][R]+k_{-2}[E][P]-k_2[ER]-k_{-1}[ER]$$
$$d[P]/dt=k_2[ER]-k_{-2}[E][P]$$
$$d[E]/dt=-k_1[E][R]-k_{-2}[E][P]+k_2[ER]+k_{-1}[ER]$$
$$d([E]+[ER])/DT=0,d[E]/dt=-d[ER]/DT$$

MM 的一个重要特征的饱和效应 (saturation effect)

近似 1：过平衡假设
$$\mathrm{E}+\mathrm{R}\underset{k_{-1}}{\overset{k_1}{\leftrightarrow }}ER\stackrel{k_2}{\to }\mathrm{E}+\mathrm{P}{k}_2\ll k_{-1}$$

$d[P]/dt=\frac{k_1{k}_2}{k_{-1}}[E][R]$

$d[P]/dt=\frac{k_2[E_0][R_0]}{R_0+\frac{k_{-1}}{k_1}}$

近似 2：稳态近似
$$\mathrm{E}+\mathrm{R}\underset{k_{-1}}{\overset{k_1}{\leftrightarrow }}ER\underset{k_{-2}}{\overset{k_2}{\leftrightarrow }}\mathrm{E}+\mathrm{P}$$

$[P]=0$ 产物被立即移走。$\mathrm{ER}$ 为稳态。

$d[P]/dt=\frac{k_2[E_0][R_0]}{R_0+\frac{k_{-1}+k_2}{k_1}}$

MM 机理：
$$d[P]/dt=\frac{k_2[E_0][R_0]}{R_0+K}$$

在单分子水平，定义：
$$k_1^{\prime }=k_1[R],k_{-2}^{\prime }=k_{-2}[P]$$
$$\mathrm{E}\underset{k_{-1}}{\overset{k_1^{\prime }}{\leftrightarrow }}\mathrm{ER}\underset{k_{-2}}{\overset{k_2^{\prime }}{\leftrightarrow }}\mathrm{E}\underset{k_{-1}}{\overset{k_1^{\prime }}{\leftrightarrow }}\mathrm{ER}\underset{k_{-2}}{\overset{k_2^{\prime }}{\leftrightarrow }}\mathrm{E}\stackrel{\dots }{\leftrightarrow }$$

detailed balance 被破坏的情形：
$${\mathrm{E}}_1\leftrightarrow \mathrm{ER}\leftrightarrow {\mathrm{E}}_2\leftrightarrow \mathrm{ER}\leftrightarrow {\mathrm{E}}_3\leftrightarrow \mathrm{ER}\dots$$

$k_{-2}^{\prime }\approx 0$ 有：
$$\mathrm{E}\underset{k_{-1}}{\overset{k_1^{\prime }}{\leftrightarrow }}\mathrm{ER}\stackrel{k_2}{\to }\mathrm{E}\underset{k_{-1}}{\overset{k_1^{\prime }}{\leftrightarrow }}\mathrm{ER}\stackrel{k_2}{\to }\mathrm{E}\leftrightarrow \dots$$

$$v=k_2{w}_{ER}=\frac{k_2}{1+\frac{k_{-1}+k_2}{k_1^{\prime }}}=\frac{k_2[R]}{[R]+K}$$

对于：
$$\mathrm{E}\stackrel{k_1^{\prime }}{\to }{\mathrm{I}}_1\stackrel{k_2}{\to }{\mathrm{I}}_2\to \dots \stackrel{k_N}{\to }{\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}\stackrel{k_{N+1}}{\to }\mathrm{E}\stackrel{k_1^{\prime }}{\to }{\mathrm{I}}_1\dots$$

总的转化时间：$t=t_1+t_2+\cdots +t_{N+1}$，$⟨t⟩=⟨t_1⟩+⟨t_2⟩+\cdots +⟨t_{N+1}⟩$

$⟨t_1⟩=1/k_1^{\prime },⟨t_i⟩1/k_1\Rightarrow ⟨t⟩=\frac{1}{k_1^{\prime }}+\sum _{i=2}^{N+1}\frac{1}{k_i}$

$v=⟨t{⟩}^{-1}=\frac{[R]{\tau }_2^{-1}}{[R]+K}$

其中 ${\tau }_2=\sum _{i=2}^{N+1}\frac{1}{k_i}$；$K={\tau }_2^{-1}/k_1$

对于：
$$\mathrm{E}\stackrel{k_1^{\prime }}{\to }{\mathrm{I}}_1\stackrel{k_2}{\to }{\mathrm{I}}_2\to \dots \stackrel{k_N}{\to }{\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}\stackrel{k_{N+1}}{\to }\mathrm{E}\stackrel{k_1^{\prime }}{\to }{\mathrm{I}}_1\dots$$

有：
$$w(t)\propto t^N$$

$N=0$，一步反应，$w(t)=k_{R\to P}{e}^{-k_{R\to P}t},w(t)\propto t^{0}att\to 0$

$N=0$，两步反应，$w(t)=\frac{e^{-k_1^{\prime }t}-e^{-k_{2}t}}{(k_1^{\prime }{)}^{-1}-k_2^{-1}},w(t)\propto t^{0}att\to 0,w(t)\approx k_1^{\prime }{k}_{2}t$

$N+1$ 是连接 $\mathrm{E}$ 和 ${\mathrm{E}}^{\prime }$ 的最小基元步骤数。

$$E\stackrel{k_{E\to }}{\text{adjacent states}}$$

参考资料：
[1] Makarov, D. E. (2015). Single molecule science: Physical principles and models. CRC Press, Taylor & Francis Group.