素因子数学原理

在寻找一个数的素因子时：

1.任何正整数都可以唯一地被分解成若干个素数的乘积。

这个定理是数论中的基本定理之一，被称为算术基本定理。

可以这么理解：这个数有两种情况：①素数，则不用分解；②合数，则根据概念，合数就是除了自身和1之外还有其他因子，所以它一定可以分解成其他因子。

这些因子又进入上面判断，如果是素数就结束，如果是合数就又可以这样分解下去，直到两个都是素数。结局就是唯一地被分解成若干个素数的乘积。

2.考虑关于一个大于1的正整数i，可以写成 i=a*b，我说这两个数其中一定存在一个数<=。

3.就是对i进行素因子分解，如果是它的素因子，则有且只能有一个。

这一点我们可以由反证法证明：如果存在两个大于的数是i的素因子则这两个数相乘之后一定大于i本身。

所以，我们可以直接从2开始一直整除目标数i，值记为a，迭代更新a；2整除到不能再除时换下一个素数继续除，但是有个问题就是在写代码时没有一个素数序列，这个时候我们这么解决：

采用奇数序列，2之后也就是3，然后是5、7，接着是9，这个时候我们注意，这个时候b一定不能被9整除，因为所有可以被9整除的数都可以被3整除，也就是虽然用奇数序列，但是奇数序列里面的合数不可能起作用，因为这个奇数序列里面的合数（比如9）的因子一定比本身小，所以目标数已经被提前处理过。

直到处理到，就结束。

接下来贴一下处理代码：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Main {
    public static List<Integer> primeFactors(int n) {
        List<Integer> factors = new ArrayList<>();
        
        // 处理偶数因子
        while (n % 2 == 0) {
            factors.add(2);
            n /= 2;
        }
        
        // 处理奇数因子
        for (int i = 3; i <= Math.sqrt(n); i += 2) {
            while (n % i == 0) {
                factors.add(i);
                n /= i;
            }
        }
        
        // 处理剩余的素数
        if (n > 2) {
            factors.add(n);
        }
        
        return factors;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int number = 56;
        List<Integer> factors = primeFactors(number);
        System.out.println("The prime factors of " + number + " are: " + factors);
    }
}