离散数学图论期末复习

图论

参考Karthus77

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第七章 图

• 可图化：奇数点的个数为偶数个
  • 可简单图化：通过定理化简证明
• 握手定理：度数和等于2倍的边数
  • 奇数度点的个数为偶数个
  • 简单联通图各点的度数范围[0,n-1]
  • 要求每个联通分支中也满足握手定理的以上条件

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第八章 欧拉图与哈密顿图

• 欧拉图：具有欧拉回路(经过所有的边)
  • G是欧拉图 ⇔ G中所有顶点的度都是偶数 ⇔ G是若干个边不交的圈的并
  • G是半欧拉图 ⇔G中恰有两个奇度顶点
  • 不含桥
• 哈密顿图：通过图中所有顶点的初级回路（圈）
  • 删点（必要条件）哈密顿图一定满足
    • p(G−V1)≤∣V1∣
  • 充分条件 满足则一定为哈密顿图
    • 任意不相邻两点，度数和大于n
    • 半哈密顿图：任意不相邻两点度数和大于n-1

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第九章 树

• 六个等价定义

  • G是树（连通无回路）
  • ⇔ G中任二顶点之间存在唯一路径
  • ⇔ G中无圈且m = n − 1
  • ⇔ G连通且m = n − 1
  • ⇔ G连通且每条边均为桥
  • ⇔ G无圈，但在任二不同顶点之间增加新边，所得图含唯一的一个 圈

• 任一n阶平凡树至少有两片树叶

• 生成树T：T是G的生成子图，且T为树 (T与G顶点相同)

  • 树枝：生成树的边
  • 弦：G中的边但不是树的边
  • 余树（补）：G[E(G)-E(T)] 注意余数不一定是树
  • 存在定理：当G联通时才具有生成树

• 基本回路 割集

  • 基本回路：加弦，则生成树中有唯一的圈，该弦对应的圈称为基本回路

    共有m-n+1条弦，则每条弦对应了一个基本回路，所有的基本回路的集合叫做基本回路系统

    m-n+1为圈秩ξ ( G )

    • 环路空间：所有基本回路做环合运算(取几个基本回路做对称差，其中不同元素构成一个集合，注意包括空集)最后指出环路空间中的回路是什么，环路不一定是回路，回路一定是环路
      • 指出回路技巧：如果是并集则不是回路
      • (A⊕B)=(A−B)∪(B−A)

  • 基本割集：取生成树的某一条树枝，该树枝和其他部分弦构成图G的割集（使点孤立或联通分支数增加），则共有n-1条树枝，对应n-1个基本割集构成的集合叫做基本割集系统，n-1为G的割集秩，记为η ( G )

    • 断集空间：所有基本割集做对称差运算，需要指出断集中的割集是什么，同理环路空间

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第十章 图的矩阵表示

• 无向图

  • 关联矩阵（点和边的关系）$m_{ij}$

    • 性质

      • 每列和=2
      • 每行和=d(V)

    • 有向图

      • 起始点为1 终点为-1

    • 秩($M_f(G)基本关联矩阵是M(G)的对角块中删除任意一行得到的$)

      • 定理10.1：如果无向连通图G有n个顶点，则$r(M(G))=n-1$
      • 定理10.2：G连通⇒ $r(Mf(G))=n-1$
      • 推论1：G有p个连通分支⇒ $r(M(G))=r(Mf(G))=n-p$
      • 推论2：G连通⇔$ r(M(G))=r(M_f(G))=n-1$

    • 求生成树

      • 

        注:方阵！！！

  • 相邻矩阵（点和点的关系）$a_{ij}$

    • 性质
      • 由握手定理可知行列度数和为2m
      • 为对称矩阵
      • 每行列和为顶点度$d(v_j)$
    • 通路数
      • $A^r=[a_{ij}^r{]}_{n\ast n}$即为矩阵的多少次幂
      • $B_r=A+A^2+...+A^r=[b_{ij}^r{]}_{n\ast n}$即为矩阵的多少次幂相加
        • $a_{ij}^r=从v_i到v_j长度为r的通路数$
        • $b_{ij}^r=从v_i到v_j长度\le r的通路数$
        • $a_{ii}^r=以v_i为起始点长度为r的回路数$
        • $\sum a_{ii}^r=长度为i的回路总数$

  • 可达矩阵(有向图)&&连通矩阵(无向图)

    • 

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第十一章 平面图

• 平面图：在平面上边与边不在非顶点处相交的图 $K_5和K_{33}是非平面图$

• 平面嵌入：将平面图画下，且满足平面图的性质

  • 注：可平面图主要表明图具有平面性质,平面嵌入是平面图的一种表示形式,平面图的平面嵌入不唯一

• 面和次

  • 面：将平面化为若干区域，每个区域称为一个面
  • 边界：包围面所有边构成的回路
  • 次数：边界的长度deg®
  • 定理11.2：$\sum deg(R_i)=2m$ 即所有次数相加为边数的二倍，每个边会给两个面提供次数(因为相邻)
    • 注：悬挂边贡献的次数为2

• 极大平面图：为平面图，但是添加任何一条边都会变成非平面图

  • 特点：
    • 一定联通
    • 不含割点及桥
  • 定理11.4：n阶连通简单平面图是极大平面图⇔∀R,deg(R)=3
    • 简单图$deg(R)\ge 3$
    • 极大平面图$deg(R)\le 3K_5$
  • 定理11.5：n ( n ≥ 4 ) 阶 极 大 平 面 图 G 中 ， δ(G)≥3

• 欧拉公式

  • 设G是连通平面图，则$n − m + r = 2 $

    其中r是G的面数，n是G的阶(点数)，m是G的边数

  • 定理11.7：设G是平面图，则$n − m + r = 1 + p $

    其中r是G的面数，p是G的连通分支数

    • 由欧拉公式得$n_i-m_i+r_i=2$

      $m=\sum m_{i}n=\sum n_{i}r=\sum r_i-p+1$(因为外部面重复了p次)

      $2p=n-m+r+p-1\Rightarrow n-m+p=1+p$

  • 定理11.8：设G是连通平面图，G的各面次数至少是$l(\ge 3),则m\le \frac{l}{l-2}(n-2)$

    • 证明：
      $$\begin{gathered} r=2+m-n \\ 2m=\sum deg(r_i)\ge l\ast r=l(2+m-n) \\ \Rightarrow 2m\ge l(2+m-n)\Rightarrow m\le \frac{l}{l-2}(n-2) \end{gathered}$$

    • 推广：$m\le \frac{l}{l-2}(n-p-1)$

    • 使用时，简单图的$l\ge 3$，偶图的l=4

  • 定理11.10：$设n ( ≥ 3 ) 阶简单平面图G有m条边，则m ≤ 3 n − 6 $

    • 证明：因为是简单图所以次数≥3，由定理11.8可证结论

    • 定理11.11：$设n(≥3)阶简单极大平面图G有m条边则m = 3 n − 6 $

    • 定理11.12：设G是简单平面图，则δ ( G ) ≤ 5

  • 同胚：G1,G2同构或反复插入或删除2度顶点后同构

  • Kuratowski定理：
    $$\begin{gathered} 图G是平面图 \\ \iff G没有与K5或K3,3同胚的子图 \\ \iff G没有可以边收缩到K5或K3,3的子图 \end{gathered}$$

  • 对偶图
    KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ &对偶图的点数：n^*=r\…

    • 自对偶图$n^{\ast }=n$

  • **外平面图：**平面图的所有顶点可都在一个面的边界上

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第十二章 图的着色

• 着色(相邻不同色)
  • 点着色
    • 点色数
  • 边着色
  • 面着色
• 色多项式

  • 

  • 

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第十三章 支配集 覆盖集 独立集 匹配集

• 支配集：集合中的点与集合外的所有点有边

  • 极小支配集：$V^{\ast }$是支配集，其真子集不是
  • 最小支配集：$|V^{\ast }|$最小的支配集，其中含点的个数最少
  • 支配数：${\gamma }_0(G^{\ast })=\mid V^{\ast }\mid 最小支配集的点数$

• 独立集：集合中的点没有边相连

  • 极大独立集：其真母集都不是
  • 最大独立集：$|V^{\ast }|$最大的独立集
  • 独立数：${\beta }_0(G^{\ast })=|V^{\ast }|$最大独立集的点数
  • 定理13.2：无向图G中没有孤立点，$|V^{\ast }|$为极大独立集则则也为极小支配集

• 点覆盖：集合中的点与所有的边相连

  • 极小点覆盖：$V^{\ast }$是点覆盖，其真子集不是
  • 最小点覆盖：$|V^{\ast }|$的数目最小
  • 点覆盖数：${\alpha }_0(G^{\ast })=|V^{\ast }|$
  • 点覆盖是支配集，反之则不然
  • 极小点覆盖不一定是极小支配集
  • 定理13.3：$V^{\ast }$是点覆盖⇔$V-V^{\ast }$是独立集
  • ${\alpha }_0+{\beta }_0=n$

• 团：$G[V^{\ast }]$是完全子图(K)

  • 极大团：$V^{\ast }$是团，其真母集都不是
  • 最大团：$|V^{\ast }|$最大的团
  • 团数：$v_0(G^{\ast })=\mid V^{\ast }\mid$

• 边覆盖：集合中的边与所有点相连

  • 极小边覆盖：其真子集都不是
  • 最小边覆盖：边数最小的边覆盖
  • 边覆盖数：${\alpha }_1(G^{\ast })=\mid E^{\ast }\mid$

• 匹配(边独立集)：集合中边不相邻

  • 极大匹配：其真母集都不是

  • 最大匹配：$|E^{\ast }|$最大的匹配

    • 定理13.9(最大匹配存在定理)：$M是G中最大匹配\iff G中无M可增广路径$

  • 匹配数：${\beta }_1(G^{\ast })=\mid E^{\ast }\mid$

  • 饱和点：v与匹配中边关联

  • 交错路径：在匹配中和匹配外交错取边的路径

  • 可增广交错路径：两端都是非饱和点的交错路径

  • 定理13.5：无向图G无孤立点

    • 设M是最大匹配,对每个非饱和点v,取v关联的一边,组成边集N,则W=M∪N是最小边覆盖
    • $设W_1是最小边覆盖,若W_1中有相邻边,就删除其中一边,直到无相邻边为止,设$$$删除的边组成边集N_1,则M_1=W_1-N_1是最大匹配$$
    • ${\alpha }_1+{\beta }_1=n$

  • 定理13.6：无向图G无孤立点, M是匹配,N是点覆盖, Y是独立集, W是边覆盖,则

    • (1) |M|≤|N|
    • (2) |Y|≤|W|,
    • (3)等号成立时, M是最大匹配, N是最小点覆盖, Y是最大独立集, W是最小边覆盖.
    • 推论： K r s : β 1 = α 0 = m i n { r , s } β 0 = α 1 = m a x { r , s } K_{rs}:β_1=α_0=min\lbrace r,s\rbrace\\β_0=α_1=max\lbrace r,s\rbrace Krs​:β1​=α0​=min{r,s}β0​=α1​=max{r,s}

  • 完备匹配：二部图，$|V_1|\le |V_2||M|=|V_1|$

    • Hall条件：$从二部图中点少的一方V_1中任取一些点，V_2$中与这部分相连的点的数量总是大于等于这些$V_1中点的数量$
    • t条件(判断有无完备匹配):$V_1中点的最小度等于V_2中点的最大度$

  • 完美匹配：没有非饱和点的匹配，即为边独立也为边覆盖

    • 定理13.10(完美匹配存在定理)：

      • 

      • 推论：无桥三正则图有完美匹配

  • K正则二部图

    • G中存在k个边不重的完美匹配
    • 无孤立点则${\alpha }_0={\beta }_1(点覆盖数等于匹配数)$