64. 最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

动态规划解网格最小路径和问题思路详解

一、核心算法思想

本解法采用动态规划策略，其核心思想是将复杂问题分解为重叠子问题，通过存储中间计算结果避免重复计算

该问题满足动态规划的两个关键性质：

1. ​最优子结构：每个位置的最小路径和仅取决于上方和左方的最优解
2. ​无后效性：当前状态确定后，后续决策不受之前路径的影响

   class Solution {
   public:
       int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
           int n = grid.size(), m = grid[0].size();
           vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(m, 0));
           dp[0][0] = grid[0][0];
           for (int i = 1; i < n; i++) {
               dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
           }
           for (int i = 1; i < m; i++) {
               dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];
           }
           if(n==1) return dp[0][m-1];
           if(m==1) return dp[n-1][0];
           for (int i = 1; i < n;i++){
               for(int j=1;j<m;j++){
                   dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j];
               }
           }
           return dp[n-1][m-1];
       }
   };

二、状态定义与初始化

1. 状态定义

dp[i][j] 表示从起点 (0,0) 到网格位置 (i,j) 的最小路径和。这个定义抓住了问题的本质——将全局最优问题转化为局部最优的累积计算

2. 边界初始化

// 初始化起点
dp[0][0] = grid[0][0];

// 初始化首列（只能向下走）
for(int i=1; i<n; i++) 
    dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];

// 初始化首行（只能向右走） 
for(int i=1; i<m; i++)
    dp[0][i] = dp[0][i-1] + grid[0][i];

边界处理体现了动态规划的基础子问题解：

• 首列每个位置只能从上方的位置到达
• 首行每个位置只能从左方的位置到达

三、状态转移方程

对于非边界的网格位置 (i,j)，推导出关键的状态转移方程：

dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];

这一方程蕴含两个重要逻辑：

1. ​最优选择：当前位置的最小路径和来自上方或左方较小值的路径
2. ​代价累积：当前网格的数值必须计入总路径和

四、填表顺序与空间分析

1. 填表顺序

采用行优先遍历策略：

for(int i=1; i<n; i++)
    for(int j=1; j<m; j++)

这种顺序保证了计算每个 dp[i][j] 时，其依赖的 dp[i-1][j]（上方）和 dp[i][j-1]（左方）都已被计算

2. 空间复杂度

• 二维数组存储：O(mn) 空间
• 可优化为滚动数组：仅需 O(n) 空间（进阶优化方向）

五、正确性验证

示例测试

以典型测试用例验证：

输入：[[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
DP表填充过程：
1  4  5
2  7  6
6  8  7 
最终返回 dp[2][2] = 7 ✔️

六、算法特性分析

特性	说明
时间复杂度	O(mn) 必须遍历整个网格
空间复杂度	O(mn) 存储DP表
适用场景	中等规模网格（200x200以内）
边界处理	正确处理单行/单列的特殊情况
扩展性	可扩展处理障碍物、多方向移动等变种问题 8

七、常见问题解答

为什么不用DFS/BFS？

• DFS会产生指数级时间复杂度 O(2^(m+n))
• BFS空间复杂度较高且无法利用最优性剪枝

如何理解动态规划的优势？

通过存储子问题解，将时间复杂度从指数级降为多项式级，典型空间换时间策略

八、优化建议

1. ​滚动数组优化：只需保留前一行数据，空间复杂度降为 O(n)
2. ​原地修改：直接利用原数组存储DP值（需允许修改输入）
3. ​并行计算：对于大规模网格可采用分块并行计算

附：完整代码逻辑流程图

开始
│
├─ 初始化DP表首行首列 → 单方向累加
│
├─ 双重循环填充DP表 → 取上方/左方较小值
│
└─ 返回右下角DP值 → 全局最优解

该解法以清晰的逻辑流程展现了动态规划解决路径问题的典型模式，可作为同类问题的解题范式