【蓝桥杯真题】切分平面 --- 画图解析_试题历届试题平面切分-优快云博客

问题描述

平面上有 N 条直线，其中第 i 条直线是 y=Ai⋅x+Bi。

请计算这些直线将平面分成了几个部分。

输入格式

第一行包含一个整数 N。

以下N行，每行包含两个整数 Ai,Bi。

输出格式

一个整数代表答案。

样例输入
3
1 1
2 2
3 3
Data

样例输出
6
Data

评测用例规模与约定

对于 50 的评测用例，1≤N≤4, −10≤Ai,Bi≤10。

对于所有评测用例，1≤N≤1000, −100000≤Ai,Bi≤100000。

解题思路

这道题主要考察的是二维直线的相交性质，考试中可以通过画图来分析解决此类问题：

情况一：唯一的一条直线

直线将原来的一个平面分割为 $A, B$ 两个部分，交点的数量：0。分割部分数量+1 + 0

情况二：两直线平行

平行直线将 $B$ 平面分割为 $B, C$ 平面，交点的数量：0。分割部分数量+1+0

情况三：相交的直线

新的直线与其他直线的交点数量为： $2$ ，分割部分数量 + 1 + 2

新的直线与其他直线交点个数为： $2$ ，需要注意的是：右侧与两条直线相交，但交点均是同一个点，不能重复计算。

该情况下得到：分割的部分数量 + 1 + 2

总结

不难发现规律：每一条直线增加的分割部分数量为： $N + 1$ ，其中 $N$ 是该直线与其他直线相交的点数量

于是我们可以用 $p a i r < i n t, i n t >$ 存储直线的斜率 $k$ 与偏移量 $b$ ，新增一条直线时，将该直线与之前加入的所有直线进行计算判断是否相交，即 $k$ 是否相同。如果相交则计算出相交点的坐标 $(x, y)$ 并存入 $s e t$ 中，最终得相交点的个数更新答案。

AC代码

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <vector>
#include <set>
#include <stack>

#define ll long long	
#define pii pair<int,int>
#define pdd pair<double,double>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    // 存储加入直线
    set<pii>points;
    // 存储结果值
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        // 直线存在，不需要计算
        if (points.count({ a,b })) {
            continue;
        }
        // 存放所有交点信息
        set<pdd>used;
        int count = 0;
        ans += 1;
        // 遍历
        for(set<pii>::iterator it = points.begin(); it != points.end();++it){
            pii cur = *it;
            // 斜率相同，没有交点
            if (cur.first == a) {
                continue;
            }
            // 获得交点坐标
            double x = ((double)cur.second - b) / ((double)a - cur.first);
            double y = a * x + b;
            if (!used.count({ x,y })) {
                ++count;
                used.insert({ x,y });
            }
        }
        points.insert({ a,b });
        ans += used.size();
    }
    cout << ans;
    return 0;
}