这篇博客探讨了求解极限问题的策略，包括直接化简、泰勒公式及其变形运用、对数化简次方数以及洛必达法则。同时，介绍了无穷小的比较和函数简化的方法，特别是如何利用换元法和导数来处理复杂函数。文章还涉及n阶导数的求解和渐近线的计算，提供了逐步解析的实例，有助于深化理解这些数学概念。
一.求极限
1.
- 在遇到极限问题时，复杂式子中会有部分表达式可以直接得出结果使得繁式化简
两个重要极限：
2.泰勒公式的运用
泰勒公式的一般形式为
常用的泰勒公式有
3.合理利用对数化简次方数
几种等价无穷小以及洛必达法则需要熟练运用
4.带有积分的极限————多用求导
5.带参数的极限
6.等价无穷小
7.泰勒公式的变形运用
联想到
二.无穷小的比较
8.
- 无穷小的比较
*
三.函数
9.利用换元简化函数
10.函数化繁为简
四.导数
11.学会利用导数的定义
12.熟悉并掌握导数定义变化应用
13.善于观察函数整体
此类复杂函数求导，需要利用函数特征，例如本题中观察到 ,当
x
=
0
x=0
x=0时，二阶导中所剩的就是
x
2
x^2
x2项的系数，又可以观察到函数中就存在
x
2
x^2
x2项，因此只需求出
(
x
+
1
)
2
(
x
+
2
)
2
.
.
.
.
.
.
(
x
+
n
)
2
(x+1)^2 (x+2)^2......(x+n)^2
(x+1)2(x+2)2......(x+n)2的常数项的值即可
14.隐函数的求导
五.n阶导数的求法
15.
几种常用的函数的n阶导数具有一定的规律
几种常见函数的n阶导数
16.复杂情况下的n阶导数
有时函数非常复杂的情况下，通过反复求导来寻找规律不是很现实，可以寻找
f
(
x
)
f(x)
f(x)与
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)的递进关系
六.渐近线
17.函数的渐近线
- 渐近线的求法：
步骤一：找间断点，若函数在间断点处的值趋于无穷，则过间断点且垂直于x轴的直线有可能为其渐近线
步骤二：
当x趋于无穷时，若函数值趋于一个固定值a，则
y
=
a
y=a
y=a可能为其渐近线
步骤三：
若函数的渐近线为
y
=
k
x
+
b
y=kx+b
y=kx+b
若极限存在,则渐近线的斜率k可以得到
k
=
lim
x
→
∞
y
x
k=\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}
k=x→∞limxy
b也可求
b
=
lim
x
→
∞
(
y
−
k
x
)
b=\lim_{x\to\infty}(y-kx)
b=x→∞lim(y−kx)
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