算法设计与分析———动态规划———最大子段和

问题描述：
最大子段和问题是将一个n个整数的序列a[1]，a[2]….a[n]中字段a[first]….a[last]之和，(1<=first<=last<=n)求这些子段和中最大的。
例如（a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6]）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20，子段为a[2],a[3],a[4]。

求解方法：
如果不会算法，那就用时间复杂度为O(n^3)的枚举，i为从1到n的起点，j为从i到n的终点，k为从i到j的子段之和。
还是枚举，改进一下，得到O(n^2)的枚举算法，就是将k去掉，在找其终点j的时候就将子段和记录下来，因为从i到j的子段和就是从i到j-1的子段和加上a[j]。
再改进一下，将这个序列分成1到(1+n)/2的序列与(1+n)/2到n的序列。那么最大的子段有可能出现在：
1.左侧序列。2.右侧序列。3.跨越中间点的序列。
我们从中间点两侧找最大子段，再找越过中间点的最大子段，就形成了我们所说的分治算法，得到复杂度为O(nlogn)的算法。
其实，我们在选择一个元素a[j]的时候，只有两种情况，将a[i]至a[j-1]加上，或者从a[j]以j为起点开始。我们用一个数组dp[i]表示以i为结束的最大子段和，对于每一个a[i]，加上dp[i-1]成为子段，或以a[i]开始成为新段的起点。因为我们只需要记录dp值，所以复杂度是O(n)。
这就是最大子段和的动态规划算法。
我们甚至不需要dp数组，只需要定义一个dp变量，因为最后要求的dp值也是最大的，所以我们可以在求dp的时候更新为最大的。

暴力法：

#include<iostream>
using namespace std;

int MaxSum(int n,int *a,int &besti,int &bestj)
{
	int sum=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=i;j<n;j++)
		{
			int tempSum=0;
			for(int k=i;k<j;k++)
			{
				tempSum+=a[k];
				if(tempSum>sum)
				{
					sum=tempSum;
					besti=i;
					bestj=j;
				}
			
			}
		}
	}
	return sum;
}
int main()
{
	int a[100]={-2,11,-4,13,-5,-2};
	

	int n=6;
	int besti=0;
	int bestj=0;
	MaxSum(n,a,besti,bestj);
	cout<<"输出最大子段和：";
	for(int i=besti;i<bestj;i++)
	{
		cout<<a[i]<<" ";
	}
	
 } 

暴力法改进：

#include<iostream>
using namespace std;

int MaxSum(int n,int *a,int &besti,int &bestj)
{
	int sum=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		int tempSum=0;
		
		for(int j=i;j<n;j++)
		{
			
			
				tempSum+=a[j];
				if(tempSum>sum)
				{
					sum=tempSum;
					besti=i;
					bestj=j;
				}
		}
	}
	return sum;
}
int main()
{
	int a[100]={-2,11,-4,13,-5,-2};
	

	int n=6;
	int besti=0;
	int bestj=0;
	MaxSum(n,a,besti,bestj);
	for(int i=besti;i<=bestj;i++)
	{
		cout<<a[i]<<" ";
	}
	
 } 

动态规划：

#include<iostream>
using namespace std;

int MaxSum(int n,int *a,int &besti,int &bestj)
{
	int sum=0;
	int tempSum=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		if(tempSum>0)
		{
			tempSum+=a[i];
		}
		else
		{
			tempSum=a[i];
		}
		if(tempSum>sum)
		{
			sum=tempSum;
		}
	
	 } 
	return sum;
}
int main()
{
	int a[100]={-2,11,-4,13,-5,-2};
	

	int n=6;
	int besti=0;
	int bestj=0;
	cout<<MaxSum(n,a,besti,bestj);

	
	
 }