线性DP（逆序求解）：尼克的任务_dp 算法逆向求导-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_49120553/article/details/121665550

本文解析了如何使用动态规划解决一个关于工作与休息的问题，通过逆序状态计算，确保无后效性。关键在于定义状态f[i]表示从i到n能获得的最大休息时间，并给出了代码实现。

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题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1280

分析：

DP的状态表示的第一个念头就是我们题目求的是什么，我们就表示什么。

1.如果正序来进行求解的话，定义f[i]为1~i时间段内能够休息的最大时间。那么我们会发现，前面的选择情况对后面是有影响的。比如a[i]这个点有多个工作，那么我们选择的任何一种工作对未来都会存在影响，而这就不满足动态规划的无后效性了。所谓的无后效性，即对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策。

2.而如果通过逆序的方式进行求解的话，f[i]定义为：i ~ n时间段内能够休息的最大时间。所以我们会通过f[i]去推f[i - 1]，从而i以及其i后面的阶段，是否进行工作，对f[i - 1]没有影响。

状态计算：如果i不存在任务：f[i] = f[i + 1] + 1;

如果i存在任务，则遍历这些任务找到对应的最大值。f[i] = max(f[i], f[i + len]);

代码实现：

# include <iostream>
# include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e4 + 10;

int f[N];

pair<int,int> q[N];

int n,k;

bool cmp(pair<int,int> q1 , pair<int,int> q2)
{
    return q1.first > q2.first;
}

int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i = 1 ; i <= k ; i++)
    {
        scanf("%d %d",&q[i].first,&q[i].second);
    }

    sort(q + 1 , q + 1 + k , cmp);

    //求的是最大值，而初始情况下都为0。
    for(int i = n , j = 1; i >= 1 ; i--)
    {
        bool flag = false;

        while(j <= k && q[j].first == i)
        {
            flag = true;
            f[i] = max(f[i],f[ i + q[j].second]);
            j++;
        }
        if(!flag) // 可以休息
        {
            f[i] = f[i + 1] + 1;
        }
    }
    printf("%d\n",f[1]);
    return 0;
}