网安自学之路-信息安全数学基础（四）-域（下）

前言

本人跨专业考研上岸网络空间安全专业，本科期间除了C语言外完全0基础，为了研究生期间跟得上学校进度，开启自学之路。在知乎上找了找经验，买了本《深入浅出密码学》开始入门密码学。看了不到两章，就被用到的整数环、mod运算给难住了，遂又开始补习密码学所需要的数学基础。为了保持自己的学习动力和加强记忆，开始随学习进度更新学习笔记和个人理解。
Tip:课程为哈尔滨工业大学韩琦老师所讲的信息安全数学基础课程，笔记也是本人所做该课程的随堂笔记。文章中包含个人为方便记忆所做的个人理解，因本人水平有限，疏漏或理解错误在所难免，欢迎批评指正！

三、域（下）

之前都是讨论的两个多项式间的关系，若是针对某单一多项式而言，有没有什么特殊的性质呢？我们可以引出“既约多项式”的概念：

但要注意，同一多项式，在不同的域上讨论时，会有不同的既约关系，如：

既约多项式的重要性体现在下面这个定理上：

这个定理实际上还与多项式的根有关。

通过算数基本定理进行分解，再通过根的定义，我们可以得到下述描述n次多项式根的个数的定理：

以上都是对带余除法的r(x)为0时的讨论，而r(x)不为0时的性质呢？同余的定义便针对是这一方向的讨论。

同余的概念同时也有着整除关系的存在，即如下充要条件。

具体的，关于同余有如下的性质：


我们讨论过带余除法后，回看域上多项式，可以发现多项式的次数n并没有任何限制，若想以一种集合的思维考虑各多项式，我们可以定义“剩余类”：

事实上，学习群、环、域乃至域上多项式的概念和性质，都是为了在计算机领域的应用。