【Gym 103729I】Latitude Compressor（生成函数）

题目链接

题目大意

对称群记为 $S_n$，记 T = { p m ∣ p ∈ S n } T=\{p^m\mid p\in S_n\} T={pm∣p∈Sn​}，求 $|T|$ 。$n,m\le 5\times 10^4$ 。

思路

一个置换可以拆成若干个互不相交的循环。

一个长度为 $k$ 的循环的 $m$ 次方是 $\gcd (k,m)$ 个长度为 $\frac{k}{\gcd (k,m)}$ 的循环。

对任意 $q\in T$， 若 $q$ 中长度为 $x$ 的循环有 $y$ 个，则 $\exists D,y={\sum }_{d\in D}d$ 且 $\forall d\in D,\gcd (xd,m)=d$ 。

则 min ⁡ { d ∣ gcd ⁡ ( x d , m ) = d } ∣ y \min\{d\mid \gcd(xd,m)=d\}\mid y min{d∣gcd(xd,m)=d}∣y ，即 $\gcd (x^{+\infty },m)\mid y$ 。

记 $t_x=\gcd (x^{+\infty },m)$ ，则 $t_x\mid y$。

答案为

$$n![z^n]\prod _{x=1}^{+\infty }\sum _{j=0}^{+\infty }\frac{(\frac{z^x}{x}{)}^{t_{x}j}}{(t_{x}j)!}=n![z^n]\prod _{x=1}^n{G}_{t_x}(\frac{z^x}{x})$$

（记 $G_i(z)={\sum }_{j=0}^{+\infty }\frac{z^{ij}}{(ij)!}$）

乘法使用取 ln 再取 exp 的方法求。

$t_x$ 相同的一起处理。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, l, r) for (int i = l; i <= r; ++i)
#define per(i, r, l) for (int i = r; i >= l; --i)

using namespace std;
const int mod = 998244353;
typedef vector<int> vi;
void print(vi a) {
    for (auto x : a) {
        printf("%d ", x);
    }
    printf("\n");
}
int gcd(int x, int y) { return y ? gcd(y, x % y) : x; }
int add(int x, int y) { return (x + y) % mod; }
int sub(int x, int y) { return (x - y + mod) % mod; }
int mul(int x, int y) { return 1ll * x * y % mod; }
int pw(int x, int y) {
    int ret = 1;
    while (y) {
        if (y & 1) ret = mul(ret, x);
        x = mul(x, x);
        y >>= 1;
    }
    return ret;
}
int inv(int x) { return pw(x, mod - 2); }

vi fac, invfac;
void get_fac(int n) {
    fac.resize(n + 1);
    invfac.resize(n + 1);
    fac[0] = 1;
    rep(i, 1, n) fac[i] = mul(fac[i - 1], i);
    invfac[n] = inv(fac[n]);
    per(i, n - 1, 0) invfac[i] = mul(invfac[i + 1], i + 1);
}

vi rev;
void get_rev(int n) {
    static int lim = -1;
    if (n == lim) return;
    lim = n;
    rev.resize(n);
    int bit = 0;
    while ((1 << bit) < n) ++bit;
    rev[0] = 0;
    rep(i, 1, n - 1) { rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (bit - 1)); }
}

void DFT(vi &a, int n, int dir = 1) {  // n = 2^k
    get_rev(n);
    rep(i, 0, n - 1) {
        if (i < rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
    }
    for (int len = 1; (len << 1) <= n; len <<= 1) {
        int wn = pw(3, (mod - 1) / (len << 1));
        if (dir == -1) wn = inv(wn);
        for (int i = 0; i < n; i += len << 1) {
            int w = 1;
            rep(j, i, i + len - 1) {
                int tmp = mul(a[j + len], w);
                a[j + len] = sub(a[j], tmp);
                a[j] = add(a[j], tmp);
                w = mul(w, wn);
            }
        }
    }
    if (dir == -1) {
        int invn = inv(n);
        rep(i, 0, n - 1) { a[i] = mul(a[i], invn); }
    }
}

vi operator+(vi a, vi b) {
    if (a.size() < b.size()) a.resize(b.size());
    rep(i, 0, (int)b.size() - 1) { a[i] = add(a[i], b[i]); }
    return a;
}
vi operator-(vi a, vi b) {
    if (a.size() < b.size()) a.resize(b.size());
    rep(i, 0, (int)b.size() - 1) { a[i] = sub(a[i], b[i]); }
    return a;
}
vi operator*(vi a, vi b) {
    int n = a.size() + b.size() - 1;
    int lim = 1;
    while (lim < n) lim <<= 1;
    a.resize(lim);
    b.resize(lim);
    DFT(a, lim);
    DFT(b, lim);
    rep(i, 0, lim - 1) { a[i] = mul(a[i], b[i]); }
    DFT(a, lim, -1);
    return a;
}

vi inv(vi a) {
    int lim = 1;
    while (lim < a.size()) lim <<= 1;
    vi b(1, inv(a[0]));
    for (int len = 2; len <= lim; len <<= 1) {
        vi x(a);
        x.resize(len);
        x.resize(len << 1);
        b.resize(len << 1);
        DFT(x, len << 1);
        DFT(b, len << 1);
        rep(i, 0, (len << 1) - 1) {
            b[i] = (2ll - 1ll * x[i] * b[i] % mod + mod) * b[i] % mod;
        }
        DFT(b, len << 1, -1);
        b.resize(len);
    }
    return b;
}

vi operator/(vi a, vi b) {  // highest not zero
    if (a.size() < b.size()) return vi(1, 0);
    int l = a.size() - b.size() + 1;
    reverse(a.begin(), a.end());
    reverse(b.begin(), b.end());
    a.resize(l);
    b.resize(l);
    vi c = a * inv(b);
    c.resize(l);
    reverse(c.begin(), c.end());
    return c;
}

vi operator%(vi a, vi b) {
    vi r = a - a / b * b;
    r.resize(max((int)b.size() - 1, 1));
    return r;
}

vi dw(vi a) {
    int n = a.size();
    rep(i, 0, n - 2) a[i] = mul(a[i + 1], i + 1);
    a.resize(n - 1);
    return a;
}
vi up(vi a) {
    int n = a.size();
    a.resize(n + 1);
    per(i, n, 1) a[i] = mul(a[i - 1], inv(i));
    a[0] = 0;
    return a;
}
vi ln(vi a) { return up(dw(a) * inv(a)); }
vi exp(vi a) {
    int lim = 1;
    while (lim < a.size()) lim <<= 1;
    vi b(1, 1);
    for (int len = 2; len <= lim * 2; len <<= 1) {  // I don't know why lim*2
        b = b * (a + vi(1, 1) - ln(b));
        b.resize(len);
    }
    return b;
}
// vi pw(vi a, int k, vi b) {
//     vi ret(1, 1);
//     while (k) {
//         if (k & 1) ret = ret * a % b;
//         a = a * a % b;
//         k >>= 1;
//     }
//     // for (auto v : a) printf("%d ", v);
//     return ret;
// }
// int linear(vi g, vi a, int n) {
//     // for (auto v : g) printf("%d ", v);
//     int k = g.size() - 1;
//     vi t{0, 1};
//     vi r = pw(t, n, g);
//     int ret = 0;
//     rep(i, 0, k - 1) { ret = (ret + mul(r[i], a[i])) % mod; }
//     return ret;
// }

// void test_linear() {
//     int n, k;
//     scanf("%d%d", &n, &k);
//     int x;
//     vi f(1, 0);
//     rep(i, 1, k) {
//         scanf("%d", &x);
//         f.push_back((x + mod) % mod);
//     }
//     vi a;
//     rep(i, 0, k - 1) {
//         scanf("%d", &x);
//         a.push_back((x + mod) % mod);
//     }
//     vi g;
//     per(i, k, 1) { g.push_back(sub(0, f[i])); }
//     g.push_back(1);
//     int ret = linear(g, a, n);
//     printf("%d", ret);
// }
vi G(int tx, int len) {
    vi ret = vi(len + 1, 0);
    rep(i, 0, len) { ret[i] = invfac[tx * i]; }
    //  print(ret);
    return ret;
}
void work() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    get_fac(n);
    vi t = vi();
    int tmp = m;
    rep(i, 2, tmp) {
        int now = 1;
        while (tmp % i == 0) {
            tmp /= i;
            now *= i;
        }
        if (now > 1) t.push_back(now);
    }
    vi f = vi(n + 1, 0);
    rep(x, 1, n) {
        int tx = 1;
        for (auto y : t) {
            if (gcd(x, y) > 1) tx *= y;
        }
        // printf("%d: %d\n", x, tx);
        int len = n / x / tx;
        vi now = ln(G(tx, len));
        // z -> z^{x*tx}/x
        rep(i, 0, len) {
            int cur = mul(now[i], pw(x, mod - 1 - i * tx));
            // printf("%d,", cur);
            f[i * x * tx] = add(f[i * x * tx], cur);
        }
        // printf("\n");
    }
    f = exp(f);
    printf("%d\n", mul(f[n], fac[n]));
}
int main() {
    // test_linear();
    work();
    return 0;
}