【ABC218H】Red and Blue Lamps（带权二分）_h - red and blue lamps-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_47903865/article/details/120246774

该博客讨论了一种优化问题，涉及在一定限制下最大化收益。问题设定有N盏灯，可以选择R盏染成红色，其余染成蓝色，不同颜色相邻的灯会带来收益。当2R>N时，可以通过转换策略改变R。博主证明了最优解中红灯不连续，并通过动态规划和二分查找的方法在O(n)时间内找到最大收益。代码实现中包括了数据范围的注意和主要函数的定义。

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题目链接

题目大意

有 $N(\le 2\times 10^5)$ 盏灯，你可以把其中 $R$ 盏染成红色，其他染成蓝色。当第 $i$ 盏和第 $i + 1$ 盏灯颜色不同时，你将获得 $A_i(1\le A_i\le 10^9)$ 的收益，问最多可以获得多少收益。

思路

当 $2 R > N$ 时，可以将 $R$ 换成 $N - R$ 。
可以证明，最优方案染红的灯一定是不连续的。
因此转化为，你将 $R$ 盏灯染红，将第 $i$ 盏灯染红可以获得 $A_{i-1}+A_i$ 的收益，要求红灯不连续，求最大收益。（约定 $A_0=A_n=0$ ）
记 $f (x)$ 为 $R = x$ 时的答案。
$f (x)$ 不方便直接求，但可以发现 $f (x)$ 是一个上凸函数
二分一下斜率 $k$ ，可以 $O (n)$ 求出 $f (x) - k x$ 的极值点
当极值点为 $R$ 时就可以算出答案

代码

注意数据范围

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, l, r) for (int i = l; i <= r; ++i)
#define per(i, r, l) for (int i = r; i >= l; --i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 200005;
int n, R;

int a[N];
int b[N];
class node {
   public:
    int num;
    ll val;
    node() {}
    node(int _num, ll _val) : num(_num), val(_val) {}
    bool operator<(const node &rhs) const {
        return val == rhs.val ? num < rhs.num : val < rhs.val;
    }
    node operator+(const node &rhs) const {
        return node(num + rhs.num, val + rhs.val);
    }
};
node max(node x, node y) { return x < y ? y : x; }
node check(int k) {
    node f0(0, 0), f1(0, 0);
    rep(i, 1, n) {
        node tmp = max(f0 + node(1, b[i] - k), f1);
        f0 = max(f0, f1);
        f1 = tmp;
    }
    // printf("%d: %d %d\n", k, f1.num, f1.val);
    return f1;
}
void work() {
    int l = 0, r = 2e9;
    while (l < r) {
        int mid = (1ll + l + r) / 2;
        if (check(mid).num < R)
            r = mid - 1;
        else
            l = mid;
    }
    ll ans = check(l).val + 1ll * r * R;
    printf("%lld\n", ans);
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &R);
    R = min(R, n - R);
    rep(i, 1, n - 1) { scanf("%d", &a[i]); }
    rep(i, 1, n) { b[i] = a[i - 1] + a[i]; }
    work();
    return 0;
}