分解质因数

分解质因数

题目
给定x个正整数ai，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。
输入格式
第一行包含整数x。

接下来x行，每行包含一个正整数ai。

输出格式
对于每个正整数ai,按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

数据范围
1≤x≤100,
1≤ai≤2∗109
输入样例：
2
6
8
输出样例：
2 1
3 1

2 3

解答
质因数在数论里是指能整除给定正整数的质数。根据算术基本定理，不考虑排列顺序的情况下，每个正整数都能够以唯一的方式表示成它的质因数的乘积。可表示为 n=p1^a1 * p2^a2 * p3^a3… pn^an。

（1）暴力搜索
从最小质数2开始遍历至n，寻找能整除的因子后算次方。时间复杂度为n。
（2）优化
根据数理性质：n中最多只含有一个大于sqrt(n)的因子。
可通过反正法证明：若有两个大于sqrt(n)的因子，那么相乘则会大于n，与性质矛盾。如果最后n还是大于1，说明这就是大于sqrt(n)的唯一质因子，输出即可。时间复杂度则为sqrt(n)。