迭代和归纳

概念

　　(1) 迭代技术。反复执行一系列操作的最简单方法就是使用迭代结构，比如C语言中的for语句。

　　(2) 递归程序设计。C语言及其他众多语言都允许函数递归，即函数可以直接或间接地调用自己。对新手程序员来说，编写迭代程序通常比写递归程序更安全。递归程序更易于编写、分析和理解。

　　(3) 归纳证明。“归纳证明”是用来表明命题为真的一项重要技术。

　　(4)归纳定义。计算机科学的很多重要概念，特别是那些涉及数据模型的，最好用归纳的形式来定义，也就是我们给出定义该概念最简单形式的基本规则，以及可用来从该概念较小实例构建更大实例的归纳规则。

迭代

　　使用迭代，程序和算法可以在不需要单独指定大量相似步骤的情况下，执行重复性的任务，如“执行下一步骤1000次”。编程语言使用像C语言中的while语句和for语句那样的循环结构，来实现迭代算法。

　　下面举排序的例子：

　　要排序具有n个元素的表，我们需要重新排表中的元素，使它们按照非递减顺序排列。排序不仅会整理好各值的顺序，使每个元素的值小于等于接下来那个元素的值，而且不会改变每个值出现的次数。

　　只要表的元素有“小于”的顺序可言，也就是具备我们通常用符号<表示的关系，就可对这些元素排序。例如，如果这些值是实数或整数，那么符号<就表示实数或整数的小于关系；如果这些值是字符串，就按字符串的词典顺序来排列。有时候，当元素比较复杂，比如当元素是结构体时，就可能使用每个元素的一部分（比如某个特定字段）来进行比较。

　　a≤b这一比较关系总是表示，要么a<b，要么a和b具有相同的值。如果a1≤a2≤…≤an，也就是说，如果这些值有着非递减顺序，那么我们就说表（a1, a2, …, an）是已排序的。排序是这

样一种操作，它接受任意表（a1, a2, …, an），并生成满足如下条件的表（b1, b2, …, bn）。

　　　　(1) 表（b1, b2, …, bn）是已排序的；

　　　　(2) 表（b1, b2, …, bn）是原表的排列。也就是说，表（a1, a2,…, an）中的每个值出现的次数，和那些值出现在（b1, b2, …, bn）中的次数是一模一样的。

　　排序算法接受任意的表作为输入，并生成对输入进行过排列的已排序表作为输出。

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　　假设要对一个具有n个整数的数组A按照非递减顺序排序。我们可以通过对这个步骤的迭代来完成该工作：找出尚不在数组已排序部分的一个最小元素，将其交换到数组未排序部分的第一个位置。在第一次迭代中，我们在整个数组A[0..n-1]中找出（“选取”）一个最小元素，并将其与A[0]互换位置。在第二次迭代中，我们从A[1..n-1]中找出一个最小元素，并将其与A[1]互换位置。继续进行这种迭代。在开始第i+1次迭代时，A[0..i-1]已经是将A中较小的i。个元素按照非递减顺序排序了，而数组中余下的元素则没有特定的顺序。在第i+1次迭代开始前数组A的状态如图所示。

　　在第i +1次迭代中，要找出A[i..n-1]中的一个最小元素，并将其与A[i]互换位置。因此，在经过第i +1次迭代之后，A[0..i]已经是将A中较小的i+1个元素按照非递减顺序排序了。在经过第 n +1次迭代之后，就完成了对整个数组的排序。

 1 void SelectionSort(int A[],int n)
 2 {
 3     int i, j, small, temp;
 4     for (i = 0; i < n-1; i++)
 5     {
 6         //将small置为剩余最小元素第一次出现时的下标
 7         small = i;
 8         for ( j = i+1; j < n; j++)
 9         {
10             if (A[j] < A[small])
11             {
12                 small = j;
13             }
14         }
15         //到达这里时，small是A[i..n-1]中第一个最小元素的下标
16         //现在交换A[small]与A[i]
17         temp = A[small];
18         A[small] = A[i];
19         A[i] = temp;
20     }
21 }

　　在排序时，我们会对要排序的值进行比较操作。通常只对值的特定部分进行比较，而用于比较的这个部分就称为键。

 归纳证明

　　归纳证明。“归纳证明”是用来表明命题为真的一项重要技术。下面是归纳证明最简单的一种形式。

　　我们有与变量n相关的命题S(n)，希望证明S(n)为真。要证明S(n)，首先要提供依据，也就是n为某个值时的命题S(n)。例如，我们可以令n = 0，并证明命题S(0)。接着，我们必须对归纳步骤加以证明，我们要证明，对应参数某个值的命题S，是由对应参数前一个值的相同命题S得出的，也就是说，对所有的n≥0，可从S(n)得到S(n+1)。例如，S(n)可能是常见的求和公式 

这是说1到n这n个整数的和等于n(n+1)/2。特例可以是S(1)，即等式在n为1时的情况，也就是1=1×2/2。归纳步骤就是要表明，由可以得出，前者就是S(n)，是等式本身，而后者则是S(n+1)，就是用n+1替换了等式中的n。

　　数学归纳法是种实用的技巧，可用来证明命题 S (n ) 对所有非负整数n都为真，或者更一般地说，对所有不小于某个下限的整数都成立。

　　现在，假设 S (n ) 是有关整数n的任意命题。在对命题 S (n ) 最简单的归纳证明形式中，要证明以下两个事实。

　　(1) 依据情况。多为 S(0) ，不过，依据可以是对应任意整数k的 S (k ) ，这样就是证明只有在n≥k时命题 S( n)成立。

　　(2) 归纳步骤。我们要证明对所有的 n≥0 （或者如果依据为 S ( k) ，则是对所有的 n≥k ），都可由 S (n ) 推出 S ( n+1) 。在证明过程中的这个部分，我们假设命题 S ( n) 为真。S ( n) 称为归纳假设，而且要假设它为真，接着我们必须证明 S ( n+1) 为真。

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 　　例子：

　　作为数学归纳法的示例，我们来证明如下命题 S (n )

　　命题。对任意的 n≥0 ，都有 S (n ) ：

　　这就是说，从2的0次幂到2的n次幂，2的整数指数幂之和要比2的 n +1次幂小1。例如，1+2+4+8＝16-1，证明过程如下。

　　依据。要证明该依据，我们将等式 S ( n) 中的n替换为0，这样 S ( n) 就成了

（2.2）

　　对i＝0，等式（2.2）左边的和式中只有一项，这样（2.2）左边的和是20， 也就是1，而等式（2.2）右边是21-1，也就是2-1，其值同样是1。因此我们证明了 S (n ) 的依据，也就是说，我们证明了对于 n=0，该等式成立。

　　归纳。现在必须要证明归纳步骤。我们假设 S (n ) 为真，并证明将该等式中的n替换为 n +1后等式也成立。要证明的等式 S(n+1) 如下

（2.3）

　　要证明等式（2.3）成立，我们先要考虑等式左侧的和

　　这个和几乎与 S (n ) 左侧的和一模一样， S (n ) 左侧的和为

　　只不过等式（2.3）左侧多了i=n+1时的项，也就是2n+1这一项。因为可以假定归纳假设S(n)在等式的证明过程中为真，所以应该将S(n)利用起来。可以将等式（2.3）中的和分为两个部分，其中之一是S(n)中的和。也就是说，要讲i=n+1时的最后一项分离出来，将其写成

（2.4）。

　　现在可以利用S(n)了，可以用S(n)的右边2n+1-1来替换等式（2.4）中的 

，于是有（2.5）　　

　　将等式（2.5）的右边化简后就成了2X2n+1-1,也就是2n+2 -1.现在可以看到等式（2.5）左侧的和值，与等式（2.3）的左边相同，而等式（2.5）的右边也与等式（2.3）的右边相同。因此，就利用等式S（n）证明了等式（2.3）的正确性，这段证明过程就是归纳步骤。由此得出的结论是，S（n）对每个非负整数n都成立。

　　在归纳证明中，我们先证明了 S(0) 为真。接下来要证明，如果 S ( n) 为真，那么 S  (n+ 1) 是成立的。不过为什么接着能得出 S ( n) 对所有 n≥0 都为真呢？我们会提供两个“证据”。某位数学家曾指出，我们证实归纳法有效的每个“证据”，都需要归纳证据本身，因此就根本没有证据。从技术上讲，归纳肯定能作为公理，然而很多人会发现以下直觉认识也是有用的。

　　在接下来的内容中，我们假设作为依据的值是 n=0 。也就是说，我们知道 S(0) 为真，而且对于所有大于0的n，如果 S ( n) 为真，那么 S  ( n+1) 为真。如果作为依据的值是其他整数，也可以做出类似的论证。

　　第一个“证据”：归纳步骤的迭代。假设要证明对某个特定的非负整数a有 S ( a) 为真。如果a = 0 ，只要援引归纳依据 S(0) 的真实性即可。如果 a > 0 ，那么就要进行如下论证。从归纳依据可知 S(0) 为真。对于命题“ S ( n) 可推出 S  ( n+1) ”，若将n替换为0，就成了“ S(0) 可推出 S(1) ”。因为我们知道 S(0) 为真，现在就知道 S(1) 为真。类似地，如果用1替换n，就有“ S(1) 可推出 S(2) ”，这样一来就知道 S(2) 也为真。用2来替换n，则有“ S(2) 可推出 S(3) ”，所以 S(3) 也为真，以此类推。不管a取什么值，最终都能得到 S ( a) ，这样就完成了归纳。

　　第二个“证据”：最少反例。假设至少有一个n的值可以使 S (n ) 不为真。设a是令 S (a ) 为假的最小非负整数。如果a=0 ，就与我们的归纳依据 S(0) 相互矛盾，所以a一定是大于0的。不过如果a > 0，而且a是令 S ( a) 为假的最小非负整数，那么 S ( a) 肯定为真。现在，在归纳步骤中，如果用a -1代替n，就会有 S (a- 1)可推出 S (a ) 。因为 S ( a-1) 为真，那么 S ( a) 肯定为真，又相互矛盾了。因为我们假设存在非负整数n使 S (n ) 为假，并引出了矛盾，所以 S ( n) 对任何n≥0 都一定为真。

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　　现在我们要介绍“检错码”的例子。检错码本身就是个有意思的概念，而且引出了一段有趣的归纳证明。当我们通过数据网络传输信息时，会将字符（字母、数字、标点符号，等等）编码成位串，即0和1组成的序列。此时假设字符是由7位表示的。不过通常每个字符要传输不止7位，而第8位可以用来检测一些简单的传输错误。也就是说，偶尔有那么一个0或1会因为传输噪声发生改变，结果接收到的就是相反的位，进入传输线路的0成了1，而1成了0。如果通信系统能在8位中的一位发生变化时发出通知，从而发出重传信号，将会很有用。

　　要检测某一位的改变，必须保证任意两个表示不同字符的位序列不只有一个位置不同。不然的话，如果那个位置发生变化，结果就成了代表另一个字符的代码，可能将没法检测到错误

的发生。例如，如果一个字符使用位序列01010101表示，而另一个由01000101表示，那么如果左起第4个位置发生改变，就会将前者变成后者。

　　要确保不同字符的代码不只有一个位置不同，方法之一是在惯用于表示字符的7位码前加上一个奇偶校验位。如果位序列中有奇数个1，则称其具有奇校验。如果位序列中有偶数个1，则其具有偶校验。我们选择的编码方式是以具有偶校验的8位码来表示字符，也可以选用带奇校验的代码。通过明智地选择校验位，我们可使奇偶校验成为偶校验。

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　　用来表示字符A的传统的ASCII（音“ask-ee”，表示American Standard Code for InformationExchange，即“美国信息交换标准码”）7位码是1000001。该序列的7位中已经有偶数个1，所以我们为其加上前缀0，得到01000001。用来表示C的传统代码是1000011，这和表示A的7位码只在第6位是不同的。不过，这个代码具有奇校验，所以我们给它加上前缀1，从而产生具有偶校验的8位码11000011。请注意，在给表示A和C的代码前加上校验位后，就有了01000001和11000011这两个位序列，它们的第1位和第7位这两位是不同的，我们总是能选择一个奇偶校验位加到7位码上，从而让得到的8位码中有偶数个1。如果表示字符的7位码本来就有偶校验，就选择0作为其奇偶校验位，而对本具有奇校验的7位码，则是选择奇偶校验位1。不管哪种情况，8位码中都是包含偶数个1。

　　两个具有偶校验的位序列不可能只有一个位置不同。如果两个这样的位序列只有一个位置不同，那么其中一个肯定要比另一个多一个1。因此，一个序列必然具有奇校验，而另一个则是偶校验，与我们都具有偶校验的假设是矛盾的。因此可得，通过加上奇偶校验位使1的数量为偶，可为字符创建检错码。

　　奇偶校验位模式是相当“高效”的，从某种意义上讲，它让我们可以传输很多不同的字符。请注意，n位的位序列有2n 个，因为我们可以为第一位选择二值（0或1）之一，可以为第二位选择二值之一，等等，总共可形成2×2×…×2（n个2相乘）个位串，所以，最多有望能用8位来表示28=256个字符。

　　然而，在奇偶校验模式中，只能选择其中7位，第8位是无从选择的。因此最多可以表示27即128个字符，而且能检测某一位上的错误。这样也不错，我们可以用256个中的128个，也就是 8位码所有可能组合的一半，来作为字符的合法代码，还能检测某一位中出现的错误。

　　类似地，如果我们使用n位的位序列，选择其中一位作为奇偶校验位，那么就能用 n 1位的位序列加上合适的奇偶校验位前缀（其值由另外那 n -1位确定）来表示2n-1个字符，n位的位序列有2n个，我们可以表示2n中的2n-1个，或者说是可能字符数的一半，而且可以检测位序列中任意一位的错误。

　　有没有可能检测多个错误，并使用超过位序列多于一半的可能组合作为合法代码呢？下面的证明说明这是不可能的。这里的归纳证明使用的命题对0来说不为真，所以我们必须选用一个更大的归纳依据，也就是1。

　　（证明好麻烦，不写了）

　　归纳证明必须在某个地方表述“……而且通过归纳假设我们可知……”。如果没有的话，就不算是归纳证明。

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　　简单归纳的模板：

　　（1）指定带证明的命题S（n）。表明自己要通过对n的归纳，对所有n≥i0，证明S（n）。这里的i0是作为归纳依据的常数，通常i0是0或1，不过它也可以是任意整数。直观地解释n的含义，比如，n是码字的长度。

　　（2）陈述依据情况，S（i0）。

　　（3）证明依据情况，也就是解释S(i0)为何为真。zhon

　　（4）陈述对某些n≥i0，假设有S（n）,也就是陈述“归纳假设”，建立归纳步骤。用n+!替换命题S（n）中的n来表示S（n+1）。

　　（5）假定归纳假设S（n）为真，证明S（n+1）。

　　（6）得出S（n）对所有n≥i0都（但对更小的n不一定）为真结论

完全归纳

　　目前为止所看到的例子，在证明 S ( n+1) 为真时，都只用到了 S ( n) 作为归纳假设。不过，由于要对参数从归纳依据开始增加的值证明命题S，我们可以对从归纳依据到n的所有i的值使用S ( i) ，这种形式的归纳叫作完全归纳（有时也称为完美归纳或强归纳）。而上面的简单归纳形式，也就是只用 S ( n) 来证明 S( n+1) ，有时被称为弱归纳。

　　先来考虑一下如何进行从归纳依据 n = 0 开始的完全归纳。要通过以下两个步骤来证明S (n ) 对所有 n≥0 为真。

　　(1) 先证明归纳依据， S(0) 。

　　(2) 假设 S(0) , S(1) , …, S (n ) 全为真，作为归纳假设。从这些命题来证明 S (n+1) 成立。

　　至于弱归纳，也可以在选择0之外再选择某个值a作为归纳依据，然后证明S (a )归纳依据。而且在归纳步骤中，可以只假定 S (a ) , S  ( a+1) , … S (n) 为真。请注意，弱归纳是完全归纳的一个特例，应用弱归纳，我们在之前的命题中只选择 S (n )来证明 S  ( n+1) 。

脑子不够用了，笔记先记到这里。。。