【C++】常见数学问题：数字黑洞 & 求最大公约数 & 求最小公倍数

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常见数学问题

前言

在一些考试或竞赛中，常常涉及到一些数学问题，需要利用一些数理逻辑来解决具体的问题，下面一起来看一下都有哪些常见的问题吧。

【PAT B1019/A1069】数字黑洞

描述

给定任一个各位数字不完全相同的 4 位正整数，如果我们先把 4 个数字按非递增排序，再按非递减排序，然后用第 1 个数字减第 2 个数字，将得到一个新的数字。一直重复这样做，我们很快会停在有“数字黑洞”之称的 6174，这个神奇的数字也叫 Kaprekar 常数。

例如，我们从6767开始，将得到
7766 - 6677 = 1089
9810 - 0189 = 9621
9621 - 1269 = 8352
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174
… …

现给定任意 4 位正整数，请编写程序演示到达黑洞的过程。

输入格式：
输入给出一个 (0,10000) 区间内的正整数 N。
输出格式：
如果 N 的 4 位数字全相等，则在一行内输出 N - N = 0000；否则将计算的每一步在一行内输出，直到 6174 作为差出现，输出格式见样例。注意每个数字按 4 位数格式输出。

输入样例 1：
6767
输出样例 1：
7766 - 6677 = 1089
9810 - 0189 = 9621
9621 - 1269 = 8352
8532 - 2358 = 6174

输入样例 2：
2222
输出样例 2：
2222 - 2222 = 0000

思路： 首先需要将数字转化为可以排序的数组，然后再转化为数字进行减法操作。至于排序就交给sort函数，因此需要添加#include<algorithm>头文件。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
//数字黑洞

void to_array(int n, int ch[]){//将数字转化成数组并存到ch数组中 
	for(int i = 0; i < 4; i++){
		ch[i] = n % 10;
		n /= 10;
	}
}

int to_number(int ch[]){//将ch数组转化成数字 
	int sum = 0;
	for(int i = 0; i < 4; i++){
		sum = sum * 10 + ch[i];
	}
	return sum;
}

bool cmp(int a, int b){//sort比较函数，从大到小排序 
	return a > b;
}


int main(){
	int n, MIN, MAX;//MIN为转化为数字的最小值，MAX为最大值 
	cin>>n;
	int ch[5];
	while(true){
		to_array(n, ch);//将n转化为数组 
		sort(ch, ch+4);//将数组ch中元素从小到大排列 
		MIN = to_number(ch);//最小值 
		sort(ch, ch + 4, cmp);//将数组ch中元素从大到小排列 
		MAX = to_number(ch);//最大值 
		n = MAX - MIN;//得到下一个操作数 
		cout<<MAX<<"-"<<MIN<<"="<<n<<endl;
		if(n == 0 || n == 6174) break;//如果最后为0或者6174则退出 
	}
	return 0;
}

最大公约数

一般使用gcd(a, b)来表示a和b的最大公约数，在求两个数的最大公约数的时候，常用到欧几里得算法，这个算法基于：设a, b均为正整数，则 gcd(a, b) = gcd(b, a % b) 这个定理来求最大公约数。
关于欧几里得算法在这里就不多赘述，可以访问博主：Zetaa ——欧几里得算法(求解最大公约数的优质方法)以及原理拓展来详细了解欧几里得算法。

代码

#include<iostream>

using namespace std;
//求最大公约数
int gcd(int a, int b){//当b为0时，此时a为最大公约数 
	return !b ? a : gcd(b, a % b);//递归求最大公约数
}
int main(){
	int a, b;
	while(cin>>a>>b){//只要还在输入a和b ,输入EOF结束 
		cout<<gcd(a, b);//输出最大公约数 
	}
	return 0;
}

最小公倍数

知道了两个数的最大公约数，可以通过下面这幅图了解最小公倍数与最大公约数的关系。
可以发现，a与b的交集即为a和b的最小公倍数，而最大公约数即为a和b的交集，故在求最小公倍数时，要得到并集，需要将最大公约数多乘一次，故最小公倍数为：a * b / gcd(a, b)
因此可以很快写出求最小公倍数的代码。

#include<iostream>

using namespace std;
//求最大公约数
int gcd(int a, int b){//当b为0时，此时a为最大公约数 
	return !b ? a : gcd(b, a % b);//递归求最大公约数
}
int main(){
	int a, b;
	while(cin>>a>>b){//只要还在输入a和b ,输入EOF结束 
		cout<<a / gcd(a, b) * b;//输出最小公倍数
	}
	return 0;
}