RSA算法深入剖析

数论基础

欧拉函数

小于n的正整数中与n互质的数的数目

若 n = pq ，p和q是质数，则$\phi (n)=\phi (q)\ast \phi (p)=(q-1)\ast (p-1)$

同余

同余：如果两个整数除以同一个整数m的余数相同，则二者关于m同余
即$a÷m\dots \dots n$且 $b÷m\dots \dots n$
同理，若整数a和b满足a-b能被整数m整除，则两者关于m同余
即$a\equiv b(modm)$

欧拉定理

欧拉定理：对于两个互质的正整数a和b，有$a^{\phi (n)}\equiv 1(modb)$
即$(a^{\phi (n)}-1)÷b\dots \dots 0$

证明

看解密公式$c^d÷n\dots \dots m$
$\because m<n$
$\therefore m÷n\dots \dots m$
$\therefore c^d\equiv m(modn)$
看加密公式
$\because m^e÷n=j\dots \dots c$
$\therefore c=m^e-j\ast n$
得到$c$的一个代数式，将$c$代入上面的同余式
$(m^e-j\ast n{)}^d\equiv m(modn)$
二项式定理展开得
$m^{ed}+m^{e(d-1)}\ast (-jn)+m^{e(d-2)}\ast (-jn{)}^2+\dots \dots +m^{2e}\ast (-jn{)}^{d-2}+m^e\ast (-jn{)}^{d-1}+(-jn{)}^d\equiv m(modn)$
除了第一项每一项都包含因数n，而n的倍数除以n的余数为0，所以上面的式子可以简化为
$m^{ed}\equiv m(modn)$
$\because e\ast d÷\phi (n)=k\dots \dots 1$
$\therefore e\ast d=k\ast \phi (n)+1$
代入同余式
$m^{k\ast \phi (n)+1}\equiv m(modn)$
此时，只要证明这个同余式成立就能证明通过解密能求出原文
分类讨论$m$和$n$互质和$m$和$n$不互质的情况讨论

情况1：$m$和$n$互质，由欧拉定理得
$m^{\phi (n)}\equiv 1(modn)$
$m^{\phi (n)}modn=1modn$
k个式子相乘
$m^{k\phi (n)}modn=1modn$
将m个同余式相加
$m^{k\phi (n)+1}modn=mmodn$
即$m^{k\phi (p)\phi (q)}\equiv 1(modn)$
情况1证毕

情况2：$m$和$n$不互质
$\because n=p\ast q,m<n,pq互质$
$\therefore m必定是，且仅是p或q中某一个的倍数$
$设m是p的倍数，记m=h\ast p$
$\because m<n$
$\therefore h<q$
$\because q是质数$
$\therefore h和q互质$
$\therefore m=h\ast p和q互质$
根据欧拉定理可以得
$m^{\phi (q)}\equiv 1(modq)$
$将k\phi (p)个这样的同余式相乘$
$m^{k\phi (p)\phi (q)}\equiv 1(modq)$
$\because \phi (n)=\phi (q)\ast \phi (p)$
$\therefore m^{k\phi (n)}\equiv 1(modq)$
将m个这样的式子相加
即$m^{k\ast \phi (n)+1}\equiv m(modq)$
根据同余规则$(m^{k\ast \phi (n)+1}-m)modq=0$
$(m^{k\ast \phi (n)+1}-m)=tq$
$\because (m^{k\ast \phi (n)+1}-m)是m的倍数，m=h\ast p，m是p的倍数$
$\therefore tq也是p的倍数$
$\therefore t一定包含因数p$
$令tq=spq=sn$
$(m^{k\ast \phi (n)+1}-m)÷n=s\dots \dots 0$
改写成同余式$m^{k\phi (p)\phi (q)}\equiv 1(modn)$
情况2证毕

RSA剖析

RSA并不是绝对安全的
2019年RSA-768密钥就被来自德国瑞士等团队成功攻破
量子计算的成熟更是通过秀儿算法的形式，对所有公开密钥算法形成严峻挑战
但是普通用户不用太过担心，不论是通过冯诺依曼机暴力破解，还是通过量子计算撞出私钥的可能性都不大，使用RSA做算法和数字签名依然是可行的，由于它的算法过于复杂，相比简单的AES更消耗设备性能，所以很多加密方案比如互联网常用的TLS，都会使用对称和非对称加密的混合方案，以在安全性和性能上实现平衡

数字签名

把文件和数据代入哈希函数，就可以得到哈希值，如果两个文件的数据一摸一样，则两个文件的hash值一定相同，如果两个文件的hash值。如果hash值不同，，则文件一定不相同。
公钥加密的数据可以用私钥解密，反过来私钥的数据也可以用公钥解密，借助