图像的空间域增强——直方图均衡化算法的原理和实现

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摘要

本文记录机器视觉学习中常用的图像空间域增强的原理和实现，作为自己后续参考的文献，也给看到本文的同学参考。

直方图均衡化原理

1）基础知识

对于图像，我们可将其看成带有像素值的数字图像，而每一个像素值为一个灰度级，且数字图像的灰度级范围为[0,L-1]（L最大为256），同时其为一个离散的图像，我们可以将离散的数值从整体角度看成一个离散函数，故有
$h\begin{pmatrix} r_k\end{pmatrix} = n_k\begin{pmatrix} r_k\end{pmatrix}$
其中 $r_k$ 为第k级灰度值， $n_k$ 为图像中灰度级为 $r_k$ 的像素个数，进行归一化处理，求 $r_k$ 的发生概率：
$p\begin{pmatrix} r_k\end{pmatrix} = n_k/n$
其中，n为图像中像素的总数，而 $p\begin{pmatrix} r_k\end{pmatrix}$ 为灰度级 $r_k$ 发生的概率估计值，进一步推理出，图像中所有灰度级的概率估计值就可以构成灰度级的概率密度函数 $p_r\begin{pmatrix} r_k\end{pmatrix}$ 。

2）直方图均衡化原理

在真正说直方图原理之前，要先明白直方图均衡化的目的是什么？直方图均衡化本质上就是将图像中的灰度级数目进行均衡化的分布，即为灰度级数目不集中在部分的灰度级之上，当图像直方图完全的均匀分布后，此时的图像的熵是最大的（即每个灰度级的概率分布都是均衡的），图像的对比度也是最大的，进而增强了图像的可观察度。
那我们又如何实现图像的灰度级均匀的分布呢？ 答案是变换函数，通过对灰度级的变换实现对原直方图的变换。
在这里我们假设找到一个变换函数 $T\begin{pmatrix} r\end{pmatrix}$ ，实现： $S=T\begin{pmatrix}r\end{pmatrix}$ ,但需要满足如下的条件：
（1）灰度级范围为： $0\leq r \leq1$
（2）变换函数 $T\begin{pmatrix}r\end{pmatrix}$ 在区间 $0\leq r \leq1$ 上单调递增
（3）当 $0\leq r \leq1$ 时， $T\begin{pmatrix}r\end{pmatrix}$ 范围为 $0\leq r \leq1$
注意:
（1）可能看到这里的小伙伴会有一个疑问？为啥灰度级的范围不是最大为255呢？大家可以把这理解成理论知识或者理解成灰度级的取值都在1范围内，实际应用时灰度级的范围还应该是 $\begin{bmatrix}0,255\end{bmatrix}$
（2）关于 $T\begin{pmatrix}r\end{pmatrix}$ 范围是因为初始变换为灰度级概率密度累加计算，因此最大值不会超过1。

2）直方图均衡化推理求解

在原理中，已经介绍初始的变换为灰度级概率密度函数的累加过程（即为求解累加分布函数 $T\begin{pmatrix}r\end{pmatrix}$ ）：
$S=T\begin{pmatrix}r\end{pmatrix}=\int_1^rp_r\begin{pmatrix} x\end{pmatrix}dx$
其中， $p_r\begin{pmatrix} x\end{pmatrix}$ 表示灰度级概率密度函数，该累加分布函数（CDF）需要满足如下条件：
（1）灰度级范围为： $0\leq r \leq L-1$
（2）变换函数 $T\begin{pmatrix}r\end{pmatrix}$ 在区间 $0\leq r \leq L-1$ 上单调递增
（3）当 $0\leq r \leq L-1$ 时， $T\begin{pmatrix}r\end{pmatrix}$ 范围为 $0\leq r \leq L-1$
在此基础上再进一步进行函数变换，寻找变换函数实现图像的直方图均衡分布，在这里我就直接给出如下公式：
$S=T\begin{pmatrix}r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}L-1\end{pmatrix}\int_0^rp_r\begin{pmatrix} x\end{pmatrix}dx \begin{pmatrix} 1\end{pmatrix}$
对于该公式是如何得到的？我只能说是之前的研究员经过大量实验获得的，大家也可以尝试如下一个公式，个人观点均可以：
$S=T\begin{pmatrix}r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}L-1\end{pmatrix}\int_0^rp_r\begin{pmatrix} x\end{pmatrix}dx+0.5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\end{pmatrix}$
注意：该公式没有附贴代码，大家可自己修改
接下来，对上述的公式 $\begin{pmatrix} 1\end{pmatrix}$ 进行离散形式变换，因为是对灰度级概率密度函数进行积分，而积分的本质可看成为累加，故可变换如下形式：
$S=T\begin{pmatrix}r\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}L-1\end{pmatrix}\sum_0^rp_r\begin{pmatrix} x\end{pmatrix}$
其中， $r$ 的范围为 $0\leq r \leq L-1$ 。

直方图均衡化实现

（1）统计图像中灰度级的数目
（2）计算灰度级的累加分布概率
（3）通过变换函数，获变换后的灰度级的概率密度
（4）遍布原图，修改原图像

直方图均衡化代码

# include <iostream>
#include <opencv.hpp>

using namespace cv;
using namespace std;
void GetHistogram(const Mat& srcImage, int* histogram);

int main() {
	Mat srcImage; //存放读取的原图
	Mat dstImage; //直方均衡的图像
	srcImage = imread("d://1.jpg", 0); //1RGB 0灰色

	if (!srcImage.data) 
		cout << "图片加载失败，请检查文件是否存在!" << endl;
	else
		cout << "图片加载成功!" << endl;
	CV_Assert(srcImage.type() == CV_8UC1); //判断图像是否为灰度图片，非灰色报错
	dstImage.create(srcImage.size(), srcImage.type()); //设置目标图与原图大小和类型相同

	// 计算直方图，即为每个灰度级在图像中的数目
	int histogram[256]; //存放为每一个灰度级在图像中的数目
	GetHistogram(srcImage, histogram);

	//计算累积分布函数，变换函数
	int pixelSrcImage = srcImage.cols * srcImage.rows;
	int Lut[256]; //分布函数
	Lut[0] = (1.0 * histogram[0] / pixelSrcImage) * 255;
	int sum = histogram[0];
	for (int i = 1; i < 256; ++i) {
		sum += histogram[i];
		Lut[i] = (1.0 * sum / pixelSrcImage) * 255;
	}

	//灰度变换
	uchar* srcImageDate = srcImage.data;
	uchar* dstImageDate = dstImage.data;
	for (int i = 0; i < pixelSrcImage; ++i) {
		dstImageDate[i] = Lut[srcImageDate[i]];
	}
	imshow("原始图像", srcImage);
	imshow("直方图均衡后图像", dstImage);
	//保持等待状态
	waitKey(0);//括号里可以填任意正整数，意味着，图像显示的毫秒时间

	return 0;
}
void GetHistogram(const Mat& srcImage, int* histogram) {
	memset(histogram, 0, 256 * sizeof(int)); //设置histogram数组初始全为0

	//建立直方图, 统计图像中每一灰度级数
	int pixelCount = srcImage.cols * srcImage.rows;
	uchar *srcImageDate = srcImage.data;
	for (int i = 0; i < pixelCount; ++i) {
		int grayDate = srcImageDate[i];
		histogram[grayDate]++;
	}
}