高等数学（七）

童年吹梦

于 2021-09-05 21:18:26 发布

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本文深入探讨微分方程的基本概念，包括阶、解、通解和特解。详细阐述了一阶微分方程的解法，如变量可分离、齐次、线性以及伯努利方程等。同时，介绍了二阶及高阶线性微分方程的特性，如线性相关性、通解结构和非齐次方程的解法，特别关注了常系数线性方程的求解策略和特殊自由项的情况。此外，还提及了欧拉方程等相关内容，为读者提供了全面的微分方程解题指导。

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微分方程

微分方程的概念
- 微分方程、阶、解
- 通解、初始条件、特解
几种特殊一阶微分方程的解法
二阶及高阶线性微分方程

微分方程的概念

微分方程、阶、解

在这里插入图片描述

通解、初始条件、特解

在这里插入图片描述

几种特殊一阶微分方程的解法

变量可分离微分方程

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齐次微分方程

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一阶线性微分方程

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伯努利方程

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全微分方程

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y’’=f(x)型可降阶二阶方程

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y’’=f(x,y’)型（缺y）的可降阶二阶方程

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y’’=f(y,y’)型（缺x）的可降阶二阶方程

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二阶及高阶线性微分方程

定义

二阶及高阶线性微分方程

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线性相关与线性无关

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性质

齐次线性方程与非齐次线性方程的解之间的关系

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齐次线性方程的解的叠加

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齐次线性方程的通解结构

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非齐次线性方程的通解结构

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自由项为 $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ 的解的叠加原理

在这里插入图片描述

二阶常系数线性齐次方程的通解求法及公式

在这里插入图片描述

某些特殊自由项的二阶常系数线性非齐次微分方程的解法

在这里插入图片描述

欧拉方程

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