本文详细介绍了线性代数中的核心概念，包括特征值、特征向量的定义及其计算方法，特征矩阵、特征方程以及它们的性质。还探讨了矩阵相似对角化的重要性，特别是实对称矩阵的对角化性质。内容涵盖矩阵相似的必要条件及实对称矩阵的特征向量正交性。
特征值、特征向量、相似矩阵
特征值和特征向量
设A为n阶方阵，若数 λ \lambda λ和n维的非零列向量x，使关系式Ax=λx成立，则称数λ为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值 λ \lambda λ 的特征向量。
特征多项式
特征矩阵
λ E − A \lambda E-A λE−A
特征方程
∣ A − λ E ∣ = 0 |A-\lambda E|=0 ∣A−λE∣=0
求特征向量、特征值的方法
特征值与特征向量的性质
（1）
λ
1
+
λ
2
+
.
.
.
+
λ
n
=
a
11
+
a
22
+
.
.
.
+
a
n
n
\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}
λ1+λ2+...+λn=a11+a22+...+ann
（2）
λ
1
∙
λ
2
.
.
.
λ
n
=
∣
A
∣
\lambda_1\bullet\lambda_2...\lambda_n=|A|
λ1∙λ2...λn=∣A∣
（3）A可逆的充分必要条件是A没有零特征值。
（4） A不可逆的充分必要条件是A有零特征值。
（5） 方阵A不同的特征值对应的特征向量是线性无关的。
（6）
相似矩阵
设A、B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B，则称B是A的相似矩阵，记之A~B。若A相似于对角阵，则称A可相似对角化，相应的对角阵是A的相似标准形。
矩阵相似对角化的充要条件
相似矩阵的性质
（1）A~A,反身性
（2）若A~B,则 B ~A，对称性
（3）若A~B,B ~C，则A ~C,传递性
两个矩阵相似的必要条件
实对称矩阵的相似对角化
元素 a i j a_{ij} aij都是实数的矩阵称为实对称矩阵。
性质
- 实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交。
- 实对称矩阵比相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=\Lambda P−1AP=Λ.且存在正交阵Q，使得 Q − 1 A Q = Q T A Q = Λ . Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda. Q−1AQ=QTAQ=Λ.
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