向量
n维向量的概念和运算
n个有次序的数 a 1 , a 2 , . . . a n a_1,a_2,...a_n a1,a2,...an ，所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数 a i a_i ai称为第i个分量。
运算
线性相关
线性组合
给定向量组A： a 1 , a 2 , . . . a m a_1,a_2,...a_m a1,a2,...am，对于任何一组实数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km，向量 k 1 a 1 + k 2 a 2 + . . . + k m a m k_1a_1+k_2a_2+...+k_ma_m k1a1+k2a2+...+kmam称为向量组A的一个线性组合， k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km称为这个线性组合的系数。
线性表出
概念1：
给定向量组A：
a
1
,
a
2
,
.
.
.
a
m
a_1,a_2,...a_m
a1,a2,...am和向量
β
\beta
β，如果存在一组实数
k
1
,
k
2
,
.
.
.
,
k
m
k_1,k_2,...,k_m
k1,k2,...,km，使向量
β
=
k
1
a
1
+
k
2
a
2
+
.
.
.
+
k
m
a
m
\beta=k_1a_1+k_2a_2+...+k_ma_m
β=k1a1+k2a2+...+kmam,则称向量
β
\beta
β是向量
a
1
,
a
2
,
.
.
.
a
m
a_1,a_2,...a_m
a1,a2,...am的线性组合，或者说向量
β
\beta
β可以由向量
a
1
,
a
2
,
.
.
.
a
m
a_1,a_2,...a_m
a1,a2,...am线性表出。
概念2：
设有两个向量组A和B，若B 组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称B能由向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价。
线性相关与线性无关
给定向量组A： a 1 , a 2 , . . . a m a_1,a_2,...a_m a1,a2,...am，若存在一组不全为0的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km，使 k 1 a 1 + k 2 a 2 + . . . + k m a m = 0 k_1a_1+k_2a_2+...+k_ma_m=0 k1a1+k2a2+...+kmam=0，则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的。
线性相关重要定理
向量组的秩
极大线性无关组
设有向量组A，如果在A中存在r个向量
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
r
a_1,a_2,...,a_r
a1,a2,...,ar,满足
(1)向量组A0:
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
r
a_1,a_2,...,a_r
a1,a2,...,ar线性无关；
(2)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量的话)都线性相关。
那么称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关组(简称极大无关组)。
秩
向量组最大无关组中向量的个数称为向量组的秩。
矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩，行向量组中秩称为矩阵行秩。
性质
- R(A)=A的行秩=A的列秩。
- 向量组A与其最大无关组A0等价。
- 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。
- 等价向量组的秩相等。
- 设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个最大无关组。
Schmidt正交化、正交矩阵
Schmidt正交化（正交规范化方法）
正交矩阵
设A是n阶矩阵，满足 A A T = A T A = E AA^T=A^TA=E AAT=ATA=E,则A是正交矩阵。
- A是正交阵 ⇔ \hArr ⇔ A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A−1 ⇔ \hArr ⇔A的行（列）向量组是正交规范向量组
- 如果A是正交矩阵，则|A|=1或-1.
向量空间
全体n维向量连同向量的加法和数乘运算合称为n维向量空间。
概念
主要定理
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