线性代数（一）

---

n阶行列式

设有$n^2$个数，排成n行n列的数表

作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号$(-1{)}^{\tau }$ ，得到形如

的项，其中p1,p2,…,pn,为自然数1,2,…,n的一个排列，当排序为偶排序时，为正1；奇排序时为负1。由于这样的排列共有n!个，因而形如上式的项共有n!项。所有这n!的代数和

称为n阶行列式，记作

行列式的性质

1. 行列式与它的转置行列式相等。
2. 互换行列式的两行(列)，行列式变号。
   推论： 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。
3. 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
   推论： 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
4. 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
5. 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和：
   
   则D等于下列两个行列式之和
   
6. 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。

行列式展开

余子式和代数余子式

在n阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$，记
$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$
$A_{ij}$叫做元素$a_{ij}$的代数余子式。

按行、按列展开公式

行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即


推论：
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

几个重要的公式

1. 主对角线有值，其他元素均为0时
   
2. 副对角线有值，其他元素为0时：
   
3. 上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积
   
4. 关于副对角线的行列式
   
5. 两个特殊的拉普拉斯展开式
   A和B分别为m和n阶矩阵
   $$\left|\begin{array}{cc}A& \ast \\ 0& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ \ast & B\end{array}\right|=|A|\bullet |B|$$
   $$\left|\begin{array}{cc}0& A\\ B& \ast \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\ast & A\\ B& 0\end{array}\right|=(-1{)}^{nm}|A|\bullet |B|$$
6. 范德蒙行列式
   

抽象方阵行列式的公式

拓展：

1. $|A^T|=|A|,|kA|=k^n|A|$
2. 如果矩阵A与B相似，则二者行列式相等。
3. $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$