二分细节讲解

二分法的使用细节
二分法当l，r的更新不正确或者mid要不要+1的选择不同，会带来不同的结果。
例题：
给定一个按照升序排列的长度为 n
的整数数组，以及 q
个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k
的起始位置和终止位置（位置从 0
开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式
第一行包含整数 n
和 q
，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n
个整数（均在 1∼10000
范围内），表示完整数组。

接下来 q
行，每行包含一个整数 k
，表示一个询问元素。

输出格式
共 q
行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围
1≤n≤100000

1≤q≤10000

1≤k≤10000

输入样例：
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出样例：
3 4
5 5
-1 -1
代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N];

int main() {
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> a[i];
    while (q -- ) {
        int k;
        cin >> k;
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            int x = a[mid];
            if (x >= k) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        if (a[l] != k) cout << -1 << " ";
        else cout << l << " ";
        l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            int x = a[mid];
            if (x <= k) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        if (a[l] != k) cout << "-1" << endl;
        else cout << l << endl;
    }
    return 0;
}

找起始位置，也就是第一个等于查找元素的下标的时候，二分叛变条件和l，r的更新规则是：

int l = 0, r = n - 1;
while (l < r) {
    int mid = l + r >> 1;
    int x = a[mid];
    if (x >= k) r = mid;
    else l = mid + 1;
}

1. 当中间元素大于等于查找元素时，我们继续缩小区间，向左半边继续寻找是否还有查找元素，因为中间元素存在等于查找元素的情况，所以更新后的区间不能丢弃mid。
2. 当l和r相邻时，使用mid=l+r>>1的方式，mid会指向l，如果mid指向k，那么r=mid会使l==r，跳出循环，如果mid指向的不是k，那么l=mid+1会指向r，也会跳出循环。
3. 总结一下，找左起点时，mid不用+1
4. 因为如果+1了，当l和r相邻时，mid会指向r，而恰好如果mid又是要查找的元素，r=mid会无事发生，导致死循环。
   找终点位置时，代码如下：

l = 0, r = n - 1;
while (l < r) {
    int mid = l + r + 1 >> 1;
    int x = a[mid];
    if (x <= k) l = mid;
    else r = mid - 1;
}

5. 当中间元素小于等于查找元素时，我们继续缩小区间，向右半边继续寻找是否还有查找元素，因为中间元素存在等于查找元素的情况，所以更新后的区间不能丢弃mid。
6. 当l和r相邻时，使用mid=l+r+1>>1的方式，mid会指向r，如果mid指向k，那么l=mid会使l==r，跳出循环，如果mid指向的不是k，那么r=mid-1会指向l，也会跳出循环。
7. 总结一下，找右终点时，mid要+1。
8. 因为如果不+1了，当l和r相邻时，mid会指向l，而恰好如果mid又是要查找的元素，l=mid会无事发生，导致死循环。
9. 最后，选l或者r都行，因为在这个更新条件下，l和r最后是相等的。