【ACWing】1115. 取石子游戏（配数学证明）

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/description/1117/

有两堆石子，两个人轮流去取，每次取的时候，只能从较多的那堆石子里取，并且取的数目必须是较少的那堆石子数目的整数倍（不能不取）。最后谁能够把一堆石子取空谁就算赢。比如初始的时候两堆石子的数目是$25$和$7$

25 7	→
11 7	→
4 7	→
4 3	→
1 3	→
1 0

最后选手$1$（先取的）获胜，在取的过程中选手$2$都只有唯一的一种取法。给定初始时石子的数目，如果两个人都采取最优策略，请问先手能否获胜。

输入格式：
输入包含多数数据。每组数据一行，包含两个正整数$a$和$b$，表示初始时石子的数目。
输入以两个$0$表示结束。

输出格式：
如果先手胜，输出win，否则输出lose。

数据范围：
$1\le a,b\le 10^9$

不妨设$a>b$。如果$a/b<2$，则第一步走法是唯一的。如果$b|a$，则先手必胜（先手直接将$a$取完即可）。下面证明，如果$a/b>2$则先手必胜。考虑$(a\mathrm{mod}b,b)$和$(b+a\mathrm{mod}b,b)$这两个状态，可以证明这两个状态一定不能都是先手必胜态，因为如果$(b+a\mathrm{mod}b,b)$是必胜态，但是下一步的走法唯一，所以$(a\mathrm{mod}b,b)$是必败态。所以两个状态必然其一是必败态，从而$a>2b$的时候先手必胜。余下的情况直接递归解决即可。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

bool dfs(int a, int b) {
  if (a / b >= 2 || a == b) return true;
  return !dfs(b, a - b);
}

int main() {
  int a, b;
  while (cin >> a >> b, a | b) {
    if (a < b) swap(a, b);
    dfs(a, b) ? puts("win") : puts("lose");
  }
}

每组数据时空复杂度 O ( log ⁡ min ⁡ { a , b } ) O(\log \min\{a,b\}) O(logmin{a,b})。