【洛谷】P1904 天际线

题目地址：

https://www.luogu.com.cn/problem/P1904

题目描述：
Latium省的Genoa是亚平宁半岛西海岸北端的一片土地，自然资源丰富，却无人居住。你受到罗马执政官Caesar的委任，前往Genoa建立新的城市。Caesar对这次任务的要求是在Genoa这片土地上建立起一座繁荣的城市，他将以此作为衡量你的表现的标准。

正在你大刀阔斧地进行城市建设的时候，Caesar突然写信给你，说他要检查Genoa的建设情况。Caesar希望知道你的城市是什么样子，但是他又非常的忙，所以他只要你描述一下城市的轮廓就可以了，他将依照城市的轮廓决定你的薪水。

怎样描述一个城市的轮廓呢？我们知道Genoa所有的建筑共享一个地面，你可以认为它是水平的。所有的建筑用一个三元组$(L_i,H_i,R_i)$，其中$L_i$和$R_i$分别是建筑的左坐标和右坐标，$H_i$就是建筑的高度。在下方所示的图表中左边建筑物描述如下$(1,11,5)$，$(2,6,7)$，$(3,13,9)$，$(12,7,16)$，$(14,3,25)$，$(19,18,22)$，$(23,13,29)$，$(24,4,28)$，右边用轮廓线的顺序$(1,11,3,13,9,0,12,7,16,3,19,18,22,3,23,13,29,0)$表示：

输入格式：
在输入数据中，你将得到一系列表示建筑的三元组。在输入数据中所有建筑的坐标中的数值都是小于$10000$的正整数，且至少有$1$幢建筑，最多有$5000$幢建筑。在输入输入中每幢建筑的三元组各占一行。三元组中的所有整数应由一个或多个空格分开。

输出格式：
在输出数据中，你被要求给出城市的轮廓线。你可以这样来描述：对于所有轮廓线上的折点，按顺序排好，第奇数个点输出$x$坐标，第偶数个点输出$y$坐标，两个数之间用空格分开。

可以用分块来做（当然也可以用线段树，思路类似。可以参考https://blog.youkuaiyun.com/qq_46105170/article/details/121259936）。思路是，将地平线视为一个数组，一开始全为$0$，每个建筑$(l,h,r)$可以视为一个修改，将该数组的$(l,r-1)$这一段的每一个数$x$变为 max ⁡ { x , h } \max\{x,h\} max{x,h}。这一点可以用分块来做，每次操作时间$O(\sqrt{n})$。最后只需要将整个数组还原回来，找到转折点即可。代码如下：

#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1e4 + 10, M = 500;
int n, m;
int w[N], bel[N];
int len;
int height[M];
struct Query {
  int l, r, h;
} q[N];

void modify(int l, int r, int h) {
  int bl = bel[l], br = bel[r];
  if (bl == br)
    for (int i = l; i <= r; i++) w[i] = max(w[i], h);
  else {
    int i = l, j = r;
    while (bel[i] == bl) w[i] = max(w[i], h), i++;
    while (bel[j] == br) w[j] = max(w[j], h), j--;
    for (int k = bel[i]; k <= bel[j]; k++) height[k] = max(height[k], h);
  }
}

int main() {
  int l, r, h;
  while (cin >> l >> h >> r) {
    q[++m] = {l, r - 1, h};
    n = max(n, q[m].r);
  }

  n++;
  len = sqrt(n);
  for (int i = 1; i <= n; i++) bel[i] = i / len;
  for (int i = 1; i <= m; i++) modify(q[i].l, q[i].r, q[i].h);

  int y = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (max(w[i], height[bel[i]]) != y) {
      y = max(w[i], height[bel[i]]);
      printf("%d %d ", i, y);
    }
}

时间复杂度$O(m\sqrt{n}+n)$，$n$为建筑的左右点范围，$m$为建筑个数，空间$O(n)$。