【Leetcode】296. Best Meeting Point（配数学证明）

题目地址：

https://leetcode.com/problems/best-meeting-point/

给定一个二维$0-1$矩阵，求其中一个位置，使得矩阵里所有的$1$与其的曼哈顿距离之和最小。

设该点是$(x,y)$，设所有的$1$的坐标分别是$(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$，那么我们要最小化$$\sum _{i=1}^n(|x_i-x|+|y_i-y|)$$设$$s_1=\sum _{i=1}^n|x_i-x|,s_2=\sum _{i=1}^n|y_i-y|$$若能够同时最小化两者，则其和必会得到最小化。我们求$$\frac{d{s}_1}{dx}=\sum _{i=1}^{n}sgn(x-x_i)$$当$x$由$-\infty$到$\infty$时，可以发现该导数先负后正，也就是$s_1$先减后增，而当$x$处于$x_1,x_2,...,x_n$的中位数时，导数等于$0$，也就达到了最小值（严格来讲不能这么说，尖点的导数是不存在的。但由函数的连续性，仍然可以证明达到最小值这个结论。严格证明略）。所以$x$和$y$只需分别取中位数即可，求中位数可以用快速选择算法。代码如下：

class Solution {
public:
  int minTotalDistance(vector<vector<int>>& g) {
    vector<int> xs, ys;
    for (int i = 0; i < g.size(); i++)
      for (int j = 0; j < g[0].size(); j++) 
        if (g[i][j]) xs.push_back(i), ys.push_back(j);

    static auto f = [&](vector<int>& a) {
      int k = a.size() / 2;
      int l = 0, r = a.size() - 1;
      while (l < r) {
        int piv = a[l + (r - l >> 1)];
        int i = l, j = r;
        while (i <= j) {
          while (a[i] < piv) i++;
          while (a[j] > piv) j--;
          if (i <= j) swap(a[i++], a[j--]);
        }
        if (k <= j) r = j;
        else if (k >= i) l = i;
        else break;
      }

      return a[k];
    };

    int x = f(xs), y = f(ys);
    int res = 0;
    for (int xx : xs) res += abs(xx - x);
    for (int yy : ys) res += abs(yy - y);
    return res;
  }
};

时空复杂度$O(mn)$。