[Leetcode] 296. Best Meeting Point 解题报告

题目：

A group of two or more people wants to meet and minimize the total travel distance. You are given a 2D grid of values 0 or 1, where each 1 marks the home of someone in the group. The distance is calculated using Manhattan Distance, where distance(p1, p2) = |p2.x - p1.x| + |p2.y - p1.y|.

For example, given three people living at (0,0), (0,4), and (2,2):

1 - 0 - 0 - 0 - 1
|   |   |   |   |
0 - 0 - 0 - 0 - 0
|   |   |   |   |
0 - 0 - 1 - 0 - 0

The point (0,2) is an ideal meeting point, as the total travel distance of 2+2+2=6 is minimal. So return 6.

思路：

我开始想到的思路是暴力BFS，也就是对于每个人的home，采用BFS生成一张距离图，然后将所有生成的距离图的对应位置加起来，并找出距离之和最小的那个位置即为所求。显然这种思路是可行的。假设grid的行和列个数分别是m和n，一共有k个人，那么算法的时间复杂度高达O(kmn)，空间复杂度也高达O(kmn)。虽然空间复杂度还可以优化，但是显然不是一个好的算法。

仔细观察这道题目，其实有更巧妙的算法，这是因为grid中的格与格之间都是互通的，中间没有障碍物。我在网上看到一个比BFS更巧妙的算法是这样的（盗图一张）：先在一维上思考这个问题：相当于在一条直线上有A, B, C, D, E五个点，我们要在这个直线上找到一个点P，使得所有点到P点的距离之和最小。

我们可以看到A和E两点距离之和的最小点肯定出现在[A, E]闭区间内（实际上该区间内任意一点都满足距离之和最小的条件），而到B和D距离之和最小的点肯定出现在[B, D]，到C点的最短距离就只能在C上了。这是奇数个点的情况，偶数个点可以在最中间的两个点之间的任意位置。因此我们要找的点其实就是所有点的中位数（注意不是平均数）。所以我们只需要将这几个点的x，y坐标分别记录下来，然后进行排序就可以。

因为x和y方向上是互无干扰的，所以其各自的中位数就是我们所要找的最佳见面位置，具体代码如下。该算法的空间复杂度是O(k)，其中k是人数；时间复杂度是O(mn)。注意nth_element函数的均摊时间复杂度是O(k)。

代码：

class Solution {
public:
    int minTotalDistance(vector<vector<int>>& grid) {
        vector<int> X, Y;
        for (int i = 0; i < grid.size(); ++i) {
            for (int j = 0; j < grid[i].size(); ++j) {
                if (grid[i][j] == 1) {
                    X.push_back(i);
                    Y.push_back(j);
                }
            } 
        }
        nth_element(X.begin(), X.begin() + X.size() / 2, X.end());
        nth_element(Y.begin(), Y.begin() + Y.size() / 2, Y.end());
        int ret = 0, x_med = X[X.size() / 2], y_med = Y[Y.size() / 2];
        for (int i = 0; i < X.size(); ++i) {
            ret += abs(X[i] - x_med) + abs(Y[i] - y_med);
        }
        return ret;
    }
};