139-动态规划-单词拆分_问题:给你一个字符串和一个单词词典,问这个字符串是否能被划分成字典中的单词-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_46060468/article/details/143456199

尝试 | 记忆 | 哈希表 | 字符串 | 动态规划

回溯

在这里插入图片描述

问题描述

题目：给定一个字符串s和一个字符串列表wordDict作为字典，判断s是否可以被拆分成一个或多个字典中的单词。注意：

字典中的单词可以重复使用。
不要求字典中所有的单词都被使用。

例子：

输入：s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]
输出：true
解释："leetcode"可以被拆分成"leet"和"code"，而这两个单词都在字典中。

算法思路：DFS（深度优先搜索）

什么是DFS？

DFS是一种用于遍历或搜索树或图的算法。它沿着树的深度遍历，尽可能深地搜索每个分支。当遍历到一个节点时，它会探索该节点的每个分支，直到无法继续为止，然后回溯到上一个节点，继续探索其他分支。

在这个问题中，我们可以将字符串s看作是一棵树的路径，每个分割点代表一个分支。我们的目标是找到一条从字符串开始到结束的路径，使得路径上的每一部分都是字典中的单词。

如何应用DFS解决这个问题？

开始：从字符串的开头开始，尝试找到字典中存在的单词作为前缀。
分割：每找到一个有效的前缀，就将字符串拆分成这个前缀和剩余部分。
递归：对剩余部分递归地应用相同的过程，直到整个字符串被成功拆分，或者发现无法拆分。
回溯：如果某条路径无法拆分成功，就回到上一步，尝试其他可能的分割方式。

具体步骤

让我们通过一个具体的例子来深入理解这个过程。

例子：s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]

我们需要判断"leetcode"是否可以被拆分成字典中的单词。

第一步：初始化

const wordBreak = (s, wordDict) => {
  const len = s.length; // 8
  const wordSet = new Set(wordDict); // 转换为Set，便于快速查找

我们先获取字符串s的长度len = 8。
然后将wordDict转换成一个Set，这有助于我们在后续快速判断一个单词是否存在于字典中。

第二步：定义递归函数

  const canBreak = (start) => {
    if (start == len) {
      return true; // 成功拆分到字符串末尾
    }
    for (let i = start + 1; i <= len; i++) {
      const prefix = s.slice(start, i); // 获取从start到i的子串
      if (wordSet.has(prefix) && canBreak(i)) {
        return true; // 如果prefix在字典中，并且剩余子串可以拆分
      }
    }
    return false; // 无法拆分
  };

我们定义一个递归函数canBreak(start)，它的作用是判断从start位置开始的子串是否可以被拆分。
基线条件：如果start == len，意味着我们已经成功地拆分到字符串的末尾，返回true。
循环：从start + 1到len，尝试不同的分割点i。
- prefix = s.slice(start, i)：获取从start到i的子串作为前缀。
- 如果prefix在字典中，并且递归调用canBreak(i)返回true，说明剩余的子串也可以被拆分，整个过程返回true。
如果所有可能的i都无法满足条件，返回false。

第三步：调用递归函数

  return canBreak(0); // 从字符串开头开始检查
};

最后，我们从字符串的第一个字符开始调用canBreak(0)，判断整个字符串是否可以被拆分。

详细例子解析

让我们详细地跟踪这个函数是如何工作的，使用刚才的例子。

s = “leetcode”, wordDict = [“leet”, “code”]

初始化：
- len = 8
- wordSet = {"leet", "code"}
初始调用：canBreak(0)
- start = 0
- 我们尝试所有可能的i从1到8。
第一个循环（i = 1）：
- prefix = s.slice(0,1) = "l"
- "l"不在wordSet中，继续下一个i。
第二个循环（i = 2）：
- prefix = s.slice(0,2) = "le"
- "le"不在wordSet中，继续下一个i。
第三个循环（i = 3）：
- prefix = s.slice(0,3) = "lee"
- "lee"不在wordSet中，继续下一个i。
第四个循环（i = 4）：
- prefix = s.slice(0,4) = "leet"
- "leet"在wordSet中。
- 现在，我们需要检查剩余的子串"code"，即canBreak(4)。
递归调用：canBreak(4)
- start = 4
- 尝试所有可能的i从5到8。
第五个循环（i = 5）：
- prefix = s.slice(4,5) = "c"
- "c"不在wordSet中，继续下一个i。
第六个循环（i = 6）：
- prefix = s.slice(4,6) = "co"
- "co"不在wordSet中，继续下一个i。
第七个循环（i = 7）：
- prefix = s.slice(4,7) = "cod"
- "cod"不在wordSet中，继续下一个i。
第八个循环（i = 8）：
- prefix = s.slice(4,8) = "code"
- "code"在wordSet中。
- 现在，我们需要检查剩余的子串（实际上已经没有剩余子串），即canBreak(8)。
递归调用：canBreak(8)
- start = 8
- 由于start == len，返回true。
回溯：
- canBreak(4)收到canBreak(8)返回true，因此canBreak(4)也返回true。
- canBreak(0)收到canBreak(4)返回true，因此canBreak(0)也返回true。

最终，wordBreak("leetcode", ["leet", "code"])返回true，因为我们找到了一个有效的拆分方式："leet" + "code"。

为什么这个算法有效？

这个算法通过尝试所有可能的分割点，并在每个分割点上验证前缀是否在字典中，递归地检查剩余部分。这确保了所有可能的拆分方式都被尝试过，只要有一种方式能够将整个字符串拆分成字典中的单词，就会返回true。

此外，使用Set来存储字典中的单词，使得查找单词是否存在的操作具有O(1)的时间复杂度，优化了整体的性能。

可能的优化

虽然这个问题的DFS解法在大多数情况下可以工作，但在一些情况下，可能会因为重复计算而变得效率低下。为了进一步优化，可以引入记忆化（Memoization），记录已经计算过的起始位置是否可以被拆分，从而避免重复计算。

但是，按照你的要求，这里暂不做优化的讨论，保持对当前DFS解法的详细理解。

好的，让我们深入理解如何在问题中引入记忆化（Memoization）来优化递归调用，从而减少重复计算。我们将逐步解释记忆化的概念，以及如何在你的代码中实现它。

什么是记忆化？

记忆化是一种优化技术，旨在通过存储已经计算过的结果来避免重复计算。它通常用于递归算法中，尤其是在存在大量重叠子问题的情况下。通过存储每个子问题的结果，当再次遇到相同的子问题时，可以直接返回存储的结果，而不必重新计算。

在 `wordBreak` 中使用记忆化

在你的代码中，start 指针代表了当前检查的子串的起始位置。为了避免对相同起始位置的重复计算，我们可以使用一个数组 memo 来存储每个起始位置的结果。这样，如果我们再次遇到相同的 start，就可以直接返回已缓存的结果。

代码解析

让我们逐行分析你提供的代码，并理解记忆化的实现。

const wordBreak = (s, wordDict) => {
  const len = s.length; // 获取字符串长度
  const wordSet = new Set(wordDict); // 将字典转换为 Set，方便查找
  const memo = new Array(len); // 创建一个长度为 len 的数组用于存储结果

  const canBreak = (start) => {
    if (start == len) return true; // 如果指针到达字符串末尾，返回 true
    if (memo[start] !== undefined) return memo[start]; // 如果 memo 中已经有结果，直接返回

    for (let i = start + 1; i <= len; i++) {
      const prefix = s.slice(start, i); // 提取从 start 到 i 的子串
      if (wordSet.has(prefix) && canBreak(i)) { // 如果前缀在字典中，并且剩余部分可以拆分
        memo[start] = true; // 存储当前起始位置的结果为 true
        return true; // 返回 true
      }
    }
    
    memo[start] = false; // 如果没有找到有效的拆分，存储结果为 false
    return false; // 返回 false
  };

  return canBreak(0); // 从字符串开始调用 canBreak 函数
};

代码逻辑

初始化：
- len：获取字符串的长度。
- wordSet：将 wordDict 转换为 Set，以便快速查找。
- memo：创建一个长度为 len 的数组，用于存储从每个 start 位置开始是否能拆分成功的结果。
递归函数 canBreak：
- 基线条件：如果 start 等于 len，说明已经成功拆分到字符串的末尾，返回 true。
- 记忆化检查：如果 memo[start] 已经被计算过（即不为 undefined），直接返回缓存的结果。
- 循环遍历：从 start + 1 到 len，尝试不同的分割点 i。
  - 提取前缀 prefix，检查它是否在字典中。
  - 如果前缀在字典中并且剩余部分可以被拆分（通过递归调用 canBreak(i)），则：
    - 将 memo[start] 设置为 true，表示从 start 开始的子串可以拆分成功。
    - 返回 true。
- 如果循环结束后没有找到有效的拆分，将 memo[start] 设置为 false，并返回 false。

记忆化的优点

使用记忆化后，算法的性能显著提高，尤其是在输入字符串较长或字典中有许多单词的情况下。通过避免对相同 start 的重复计算，减少了不必要的递归调用，从而降低了时间复杂度。

时间复杂度分析

原始算法：在没有记忆化的情况下，最坏情况下的时间复杂度为 O(2^n)，因为每个位置都可能产生两个递归调用。
加入记忆化后：时间复杂度降低为 O(n^2)，因为每个位置最多只计算一次，且每次计算都需要遍历到 len。

总结

记忆化 是一种有效的优化技术，可以显著提高递归算法的效率，尤其是当存在大量重叠子问题时。
在 wordBreak 问题中，通过使用一个数组 memo 来存储每个起始位置的结果，避免了重复计算，从而提高了性能。

希望这个解释能帮助你理解如何在 wordBreak 问题中实现记忆化！如果你还有其他问题或需要进一步的说明，请随时问我！

当然可以！让我们通过一个具体的例子来说明如何在 wordBreak 问题中使用记忆化（Memoization），并展示这个过程是如何工作的。

示例

假设我们有以下输入：

字符串 s = "leetcode"
字典 wordDict = ["leet", "code"]

我们的目标是判断字符串 s 是否可以被拆分成字典中的单词。

记忆化的过程

初始化：
- 字符串长度 len = 8
- wordSet = {"leet", "code"}
- memo = [undefined, undefined, undefined, undefined, undefined, undefined, undefined, undefined, undefined]（长度为 9，因为我们有 0 到 8 的索引）
开始递归：调用 canBreak(0)
- 状态：start = 0
- 字符串从 0 到 i 的前缀（prefix）将被检查。

递归过程

第一步：`canBreak(0)`

start = 0
尝试不同的 i 从 1 到 8。
- i = 1：prefix = "l"，不在 wordSet 中。
- i = 2：prefix = "le"，不在 wordSet 中。
- i = 3：prefix = "lee"，不在 wordSet 中。
- i = 4：prefix = "leet"，在 wordSet 中。
调用 canBreak(4)（检查剩余部分 "code"）。

第二步：`canBreak(4)`

start = 4
尝试不同的 i 从 5 到 8。
- i = 5：prefix = "c"，不在 wordSet 中。
- i = 6：prefix = "co"，不在 wordSet 中。
- i = 7：prefix = "cod"，不在 wordSet 中。
- i = 8：prefix = "code"，在 wordSet 中。
调用 canBreak(8)（检查剩余部分，实际上已经到达末尾）。

第三步：`canBreak(8)`

start = 8，此时 start == len，返回 true。

回溯过程

canBreak(4) 收到 canBreak(8) 返回 true，因此：
- 设置 memo[4] = true，表示从 4 开始的部分可以拆分成功。
- 返回 true。
canBreak(0) 收到 canBreak(4) 返回 true，因此：
- 设置 memo[0] = true，表示从 0 开始的部分可以拆分成功。
- 返回 true。

最终结果

最终，wordBreak("leetcode", ["leet", "code"]) 返回 true，因为我们找到了有效的拆分方式："leet" + "code"。

记忆化效果的展示

在这个例子中，memo 数组的状态变化如下：

初始状态：memo = [undefined, undefined, undefined, undefined, undefined, undefined, undefined, undefined, undefined]
在 canBreak(4) 返回 true 后：memo = [undefined, undefined, undefined, undefined, true, undefined, undefined, undefined, undefined]
在 canBreak(0) 返回 true 后：memo = [true, undefined, undefined, undefined, true, undefined, undefined, undefined, undefined]

重复计算的优化

假设我们有另一个例子，字符串更长，比如 s = "leetcodeleet"，字典依然是 ["leet", "code"]。在这种情况下，使用记忆化可以避免对相同的 start 重复调用。例如，当我们再次调用 canBreak(4) 或 canBreak(0) 时，直接返回 memo 中的缓存值，而不需要再次进行递归计算。

这种方式大大提高了效率，尤其是在字符串较长或者字典较大时，可以显著减少计算时间。

如果你还有其他问题或需要进一步的解释，请随时告诉我！

当然可以，使用 Set 来存储字典中的单词是一种非常有效的做法。让我们详细解释一下 Set 的概念、它的用途，以及为什么在这个特定的场景中使用它会带来好处。

什么是 `Set`？

Set 是 JavaScript 中的一种内置数据结构，它用于存储一组唯一的值。与数组不同，Set 不允许重复的元素。Set 的基本特性包括：

唯一性：每个值只能出现一次。
顺序：Set 中的值是有序的，插入的顺序会被保留。
可迭代性：可以使用 for...of 循环或其他迭代方法遍历 Set 中的元素。
快速查找：Set 提供了快速的查找操作，平均时间复杂度为 O(1)。

为什么要使用 `Set` 存储字典中的单词？

在解决 wordBreak 问题时，使用 Set 存储字典中的单词有几个显著的优点：

快速查找：
- 在这个问题中，我们需要频繁检查某个前缀（substring）是否在字典中。使用 Set 可以让我们以常数时间复杂度 O(1) 来判断一个元素是否存在。这比使用数组（查找时间复杂度为 O(n)）要高效得多。
避免重复：
- 由于字典中的单词可能包含重复的元素，使用 Set 可以自动去除重复项，确保每个单词都唯一。这使得我们在检查时不必担心同一个单词会被多次计入。
语义清晰：
- 使用 Set 来表示一个集合（即字典）是语义上合理的，因为我们只关心单词的存在性，而不关心它们的顺序或重复性。这样可以使代码更易于理解。

示例代码

让我们看看如何在实际代码中使用 Set：

const wordDict = ["leet", "code", "leet"]; // 字典中有重复的 "leet"
const wordSet = new Set(wordDict); // 创建一个 Set
console.log(wordSet); // 输出: Set { 'leet', 'code' }

// 检查某个单词是否在字典中
console.log(wordSet.has("leet")); // 输出: true
console.log(wordSet.has("code")); // 输出: true
console.log(wordSet.has("hello")); // 输出: false

在这个示例中，我们将 wordDict 数组传入 Set 的构造函数，创建一个新的 Set 对象 wordSet。这个 Set 会自动去除重复的单词，并且我们可以通过 has 方法快速判断某个单词是否存在。

slice 是 JavaScript 中字符串和数组的一种常用方法，它用于提取字符串或数组的一部分，并返回一个新的字符串或数组。下面我们将详细介绍 slice 的用法，以及如何在字符串处理中使用它。

`slice` 方法的基本语法

对于字符串

string.slice(startIndex, endIndex);

startIndex：提取的开始位置（包括该位置）。
endIndex：提取的结束位置（不包括该位置）。如果省略，slice 将提取到字符串的末尾。

对于数组

array.slice(startIndex, endIndex);

startIndex：提取的开始位置（包括该位置）。
endIndex：提取的结束位置（不包括该位置）。如果省略，slice 将提取到数组的末尾。

返回值

slice 返回一个新的字符串或数组，原始字符串或数组不会被修改。

示例

字符串的示例

const str = "Hello, World!";
const part1 = str.slice(0, 5); // 从索引 0 到 5（不包括 5）
console.log(part1); // 输出: "Hello"

const part2 = str.slice(7); // 从索引 7 开始到字符串末尾
console.log(part2); // 输出: "World!"

const part3 = str.slice(-6); // 从倒数第 6 个字符开始到字符串末尾
console.log(part3); // 输出: "World!"

数组的示例

const arr = [1, 2, 3, 4, 5];
const subArray1 = arr.slice(1, 4); // 从索引 1 到 4（不包括 4）
console.log(subArray1); // 输出: [2, 3, 4]

const subArray2 = arr.slice(2); // 从索引 2 开始到数组末尾
console.log(subArray2); // 输出: [3, 4, 5]

const subArray3 = arr.slice(-3); // 从倒数第 3 个元素开始到数组末尾
console.log(subArray3); // 输出: [3, 4, 5]

在 `wordBreak` 问题中的使用

在你提供的 wordBreak 代码中，slice 的使用如下：

const prefix = s.slice(start, i);

这里的 slice 方法用于从字符串 s 中提取从 start 到 i 的子串（不包括 i）。这个子串 prefix 将被用来检查它是否存在于字典中。

具体例子

假设 s = "leetcode"，并且在某次循环中 start = 0 和 i = 4，那么：

const prefix = s.slice(0, 4); // 提取从索引 0 到 4 的子串
console.log(prefix); // 输出: "leet"

如果 start = 0 和 i = 5，那么：

const prefix = s.slice(0, 5); // 提取从索引 0 到 5 的子串
console.log(prefix); // 输出: "leetc"

在这个上下文中，prefix 是用来检查是否可以从字符串 s 开始的某个部分构成一个有效的单词。如果 prefix 在字典中存在，那么我们就可以继续检查剩余的部分。

好的，让我们深入理解你提供的动态规划方法来解决 wordBreak 问题，并逐步解释每个步骤和相关概念。

问题描述

给定一个字符串和一个单词字典，我们需要判断字符串是否可以被拆分成字典中的单词。这个问题可以通过动态规划（Dynamic Programming, DP）来解决。

在这里插入图片描述

动态规划的思路

定义状态：
- 使用一个布尔数组 dp，其中 dp[i] 表示前 i 个字符（即 s[0:i-1]）是否可以被拆分成字典中的单词。
- 我们的目标是计算 dp[len]，即整个字符串 s 是否可以拆分。
状态转移方程：
- 对于每个 i（从 1 到 len），我们用一个指针 j 来划分字符串 s[0:i]。
- 我们检查后缀 s[j:i] 是否在字典中，并且前缀 s[0:j-1] 的 dp[j] 是否为 true。
- 具体的状态转移方程为：
  - 如果 wordSet.has(s.slice(j, i)) 且 dp[j] 为 true，则 dp[i] 也为 true。
基础情况：
- 初始状态 dp[0] = true，表示空字符串可以被拆分（这是为了便于后续的状态转移计算）。

代码实现

以下是你提供的代码，我们将逐步解析：

const wordBreak = (s, wordDict) => {
  const wordSet = new Set(wordDict); // 将字典转换为 Set，方便查找
  const len = s.length; // 获取字符串长度
  const dp = new Array(len + 1).fill(false); // 创建 DP 数组，长度为 len + 1
  dp[0] = true; // 基础情况：空字符串可以拆分

  // 遍历每个字符位置 i
  for (let i = 1; i <= len; i++) {
    // 从 i - 1 到 0 遍历 j
    for (let j = i - 1; j >= 0; j--) {
      const suffix = s.slice(j, i); // 提取后缀 s[j:i]
      // 检查后缀是否在字典中，并且前缀的 dp[j] 是否为 true
      if (wordSet.has(suffix) && dp[j]) {
        dp[i] = true; // 当前的 dp[i] 可以拆分
        break; // 一旦找到拆分方式，停止内层循环
      }
    }
  }

  return dp[len]; // 返回整个字符串是否可以拆分
};

代码解析

初始化：
- wordSet：将 wordDict 转换为 Set，以便快速查找。
- dp 数组：初始化为 false，长度为 len + 1，并设置 dp[0] 为 true。
外层循环（遍历每个字符位置 i）：
- 从 1 到 len，检查字符串的前 i 个字符。
内层循环（划分字符串）：
- 从 i - 1 到 0，尝试不同的划分位置 j。
- 提取后缀 s[j:i]，检查它是否在字典中，并且前缀的 dp[j] 是否为 true。
- 如果满足条件，将 dp[i] 设置为 true，并跳出内层循环。
返回结果：
- 返回 dp[len]，表示整个字符串是否可以拆分成字典中的单词。

示例

让我们通过一个具体的例子来演示这个动态规划过程。

输入

字符串 s = "leetcode"
字典 wordDict = ["leet", "code"]

DP 数组的变化过程

初始状态：
- dp = [true, false, false, false, false, false, false, false, false]（长度为 9）
计算过程：
- i = 1：
  - j = 0：suffix = "l"，不在字典中，dp[1] = false
- i = 2：
  - j = 1：suffix = "e"，不在字典中，dp[2] = false
- i = 3：
  - j = 2：suffix = "ee"，不在字典中，dp[3] = false
- i = 4：
  - j = 3：suffix = "eet"，不在字典中
  - j = 2：suffix = "leet"，在字典中，且 dp[2] 是 false，所以 dp[4] = true
- i = 5：
  - j = 4：suffix = "c"，不在字典中
  - j = 3：suffix = "co"，不在字典中
  - j = 2：suffix = "cod"，不在字典中
  - j = 1：suffix = "ode"，不在字典中
  - j = 0：suffix = "code"，在字典中，且 dp[0] 是 true，所以 dp[5] = true
- i = 6：
  - j = 5：suffix = "e"，不在字典中
  - j = 4：suffix = "le"，不在字典中
  - j = 3：suffix = "let"，不在字典中
  - j = 2：suffix = "et"，不在字典中
  - j = 1：suffix = "te"，不在字典中
  - j = 0：suffix = "leet"，在字典中，且 dp[0] 是 true，所以 dp[6] = true
- i = 7：
  - j = 6：suffix = "o"，不在字典中
  - j = 5：suffix = "co"，不在字典中
  - j = 4：suffix = "t"，不在字典中
  - j = 3：suffix = "et"，不在字典中
  - j = 2：suffix = "de"，不在字典中
  - j = 1：suffix = "ed"，不在字典中
  - j = 0：suffix = "e"，不在字典中
- i = 8：
  - j = 7：suffix = "s"，不在字典中
  - j = 6：suffix = "t"，不在字典中
  - j = 5：suffix = "e"，不在字典中
  - j = 4：suffix = "le"，不在字典中
  - j = 3：suffix = "et"，不在字典中
  - j = 2：suffix = "de"，不在字典中
  - j = 1：suffix = "ed"，不在字典中
  - j = 0：suffix = "e"，不在字典中
最终状态：
- dp = [true, false, false, false, true, true, true, false, false]
- dp[8] 为 false，因此字符串 "leetcode" 不能被拆分成字典中的单词。