Java堆数据结构详解：大顶堆与优先级队列-优快云博客

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5. 堆

5.1 堆

以大顶堆为例，相对于之前的优先级队列，增加了堆化等方法

public class MaxHeap {
    int[] array;
    int size;

    public MaxHeap(int capacity) {
        this.array = new int[capacity];
    }

    /**
     * 获取堆顶元素
     *
     * @return 堆顶元素
     */
    public int peek() {
        return array[0];
    }

    /**
     * 删除堆顶元素
     *
     * @return 堆顶元素
     */
    public int poll() {
        int top = array[0];
        swap(0, size - 1);
        size--;
        down(0);
        return top;
    }

    /**
     * 删除指定索引处元素
     *
     * @param index 索引
     * @return 被删除元素
     */
    public int poll(int index) {
        int deleted = array[index];
        swap(index, size - 1);
        size--;
        down(index);
        return deleted;
    }

    /**
     * 替换堆顶元素
     * @param replaced 新元素
     */
    public void replace(int replaced) {
        array[0] = replaced;
        down(0);
    }

    /**
     * 堆的尾部添加元素
     *
     * @param offered 新元素
     * @return 是否添加成功
     */
    public boolean offer(int offered) {
        if (size == array.length) {
            return false;
        }
        up(offered);
        size++;
        return true;
    }

    // 将 offered 元素上浮: 直至 offered 小于父元素或到堆顶
    private void up(int offered) {
        int child = size;
        while (child > 0) {
            int parent = (child - 1) / 2;
            if (offered > array[parent]) {
                array[child] = array[parent];
            } else {
                break;
            }
            child = parent;
        }
        array[child] = offered;
    }

    public MaxHeap(int[] array) {
        this.array = array;
        this.size = array.length;
        heapify();
    }

    // 建堆
    private void heapify() {
        // 如何找到最后这个非叶子节点  size / 2 - 1
        for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
            down(i);
        }
    }

    // 将 parent 索引处的元素下潜: 与两个孩子较大者交换, 直至没孩子或孩子没它大
    private void down(int parent) {
        int left = parent * 2 + 1;
        int right = left + 1;
        int max = parent;
        if (left < size && array[left] > array[max]) {
            max = left;
        }
        if (right < size && array[right] > array[max]) {
            max = right;
        }
        if (max != parent) { // 找到了更大的孩子
            swap(max, parent);
            down(max);
        }
    }

    // 交换两个索引处的元素
    private void swap(int i, int j) {
        int t = array[i];
        array[i] = array[j];
        array[j] = t;
    }

    public static void main(String[] args) {

        int[] array = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
        MaxHeap maxHeap = new MaxHeap(array);
        System.out.println(Arrays.toString(maxHeap.array));
    }
}

建堆

Floyd 建堆算法作者（也是之前龟兔赛跑判环作者）：
在这里插入图片描述

找到最后一个非叶子节点
从后向前，对每个节点执行下潜

一些规律

一棵满二叉树节点个数为 $2^h-1$ ，如下例中高度 $h = 3$ 节点数是 $2^3-1=7$
非叶子节点范围为 $[0, s i ze /2 - 1]$

算法时间复杂度分析

在这里插入图片描述

下面看交换次数的推导：设节点高度为 3

	本层节点数	高度	下潜最多交换次数（高度-1）
4567 这层	4	1	0
23这层	2	2	1
1这层	1	3	2

每一层的交换次数为： $节点个数 * 此节点交换次数$ ，总的交换次数为
在这里插入图片描述

即
$\sum_{i=1}^{h}(\frac{2^h}{2^i}*(i-1))$
在 https://www.wolframalpha.com/ 输入

Sum[\(40)Divide[Power[2,x],Power[2,i]]*\(40)i-1\(41)\(41),{i,1,x}]

推导出
$2^h -h -1$
其中 $2^h \approx n$ ， $\approx \log_2{n}$ ，因此有时间复杂度 $O (n)$

5.2 二叉树

二叉树是这么一种树状结构：每个节点最多有两个孩子，左孩子和右孩子

重要的二叉树结构

完全二叉树（complete binary tree）是一种二叉树结构，除最后一层以外，每一层都必须填满，填充时要遵从先左后右
平衡二叉树（balance binary tree）是一种二叉树结构，其中每个节点的左右子树高度相差不超过 1

存储

存储方式分为两种

定义树节点与左、右孩子引用（TreeNode）
使用数组，前面讲堆时用过，若以 0 作为树的根，索引可以通过如下方式计算
- 父 = floor((子 - 1) / 2)
- 左孩子 = 父 * 2 + 1
- 右孩子 = 父 * 2 + 2

遍历

遍历也分为两种

广度优先遍历（Breadth-first order）：尽可能先访问距离根最近的节点，也称为层序遍历
深度优先遍历（Depth-first order）：对于二叉树，可以进一步分成三种（要深入到叶子节点）
1. pre-order 前序遍历，对于每一棵子树，先访问该节点，然后是左子树，最后是右子树
2. in-order 中序遍历，对于每一棵子树，先访问左子树，然后是该节点，最后是右子树
3. post-order 后序遍历，对于每一棵子树，先访问左子树，然后是右子树，最后是该节点

广度优先

在这里插入图片描述

本轮开始时队列	本轮访问节点
[1]	1
[2, 3]	2
[3, 4]	3
[4, 5, 6]	4
[5, 6]	5
[6, 7, 8]	6
[7, 8]	7
[8]	8
[]

初始化，将根节点加入队列
循环处理队列中每个节点，直至队列为空
每次循环内处理节点后，将它的孩子节点（即下一层的节点）加入队列

注意

以上用队列来层序遍历是针对 TreeNode 这种方式表示的二叉树

对于数组表现的二叉树，则直接遍历数组即可，自然为层序遍历的顺序

深度优先

在这里插入图片描述

栈暂存	已处理	前序遍历	中序遍历
[1]	1 ✔️ 左💤 右💤	1
[1, 2]	2✔️ 左💤 右💤 1✔️ 左💤 右💤	2
[1, 2, 4]	4✔️ 左✔️ 右✔️ 2✔️ 左💤 右💤 1✔️ 左💤 右💤	4	4
[1, 2]	2✔️ 左✔️ 右✔️ 1✔️ 左💤 右💤		2
[1]	1✔️ 左✔️ 右💤		1
[1, 3]	3✔️ 左💤 右💤 1✔️ 左✔️ 右💤	3
[1, 3, 5]	5✔️ 左✔️ 右✔️ 3✔️ 左💤 右💤 1✔️ 左✔️ 右💤	5	5
[1, 3]	3✔️ 左✔️ 右💤 1✔️ 左✔️ 右💤		3
[1, 3, 6]	6✔️ 左✔️ 右✔️ 3✔️ 左✔️ 右💤 1✔️ 左✔️ 右💤	6	6
[1, 3]	3✔️ 左✔️ 右✔️ 1✔️ 左✔️ 右💤
[1]	1✔️ 左✔️ 右✔️
[]

递归实现

/**
 * <h3>前序遍历</h3>
 * @param node 节点
 */
static void preOrder(TreeNode node) {
    if (node == null) {
        return;
    }
    System.out.print(node.val + "\t"); // 值
    preOrder(node.left); // 左
    preOrder(node.right); // 右
}

/**
 * <h3>中序遍历</h3>
 * @param node 节点
 */
static void inOrder(TreeNode node) {
    if (node == null) {
        return;
    }
    inOrder(node.left); // 左
    System.out.print(node.val + "\t"); // 值
    inOrder(node.right); // 右
}

/**
 * <h3>后序遍历</h3>
 * @param node 节点
 */
static void postOrder(TreeNode node) {
    if (node == null) {
        return;
    }
    postOrder(node.left); // 左
    postOrder(node.right); // 右
    System.out.print(node.val + "\t"); // 值
}

非递归实现

前序遍历

LinkedListStack<TreeNode> stack = new LinkedListStack<>();
TreeNode curr = root;

while (!stack.isEmpty() || curr != null) {
    if (curr != null) {
        stack.push(curr);
        System.out.println(curr);
        curr = curr.left;
    } else {
        TreeNode pop = stack.pop();
        curr = pop.right;
    }

}

中序遍历

LinkedListStack<TreeNode> stack = new LinkedListStack<>();
TreeNode curr = root;

while (!stack.isEmpty() || curr != null) {
    if (curr != null) {
        stack.push(curr);
        curr = curr.left;
    } else {
        TreeNode pop = stack.pop();
        System.out.println(pop);
        curr = pop.right;
    }
}

后序遍历

LinkedListStack<TreeNode> stack = new LinkedListStack<>();
TreeNode curr = root;
TreeNode pop = null;

while (!stack.isEmpty() || curr != null) {
    if (curr != null) {
        stack.push(curr);
        curr = curr.left;
    } else {
        TreeNode peek = stack.peek();
        if (peek.right == null || peek.right == pop) {
            pop = stack.pop();
            System.out.println(pop);
        } else {
            curr = peek.right;
        }
    }
}

对于后序遍历，向回走时，需要处理完右子树才能 pop 出栈。如何知道右子树处理完成呢？

如果栈顶元素的 $\equiv null$ 表示没啥可处理的，可以出栈
如果栈顶元素的 $\neq null$ ，
- 那么使用 lastPop 记录最近出栈的节点，即表示从这个节点向回走
- 如果栈顶元素的 $r i g h t == l a s tP o p$ 此时应当出栈

对于前、中两种遍历，实际以上代码从右子树向回走时，并未走完全程（stack 提前出栈了）后序遍历以上代码是走完全程了

统一写法

下面是一种统一的写法，依据后序遍历修改

LinkedList<TreeNode> stack = new LinkedList<>();

TreeNode curr = root; // 代表当前节点
TreeNode pop = null; // 最近一次弹栈的元素
while (curr != null || !stack.isEmpty()) {
    if (curr != null) {
        colorPrintln("前: " + curr.val, 31);
        stack.push(curr); // 压入栈，为了记住回来的路
        curr = curr.left;
    } else {
        TreeNode peek = stack.peek();
        // 右子树可以不处理, 对中序来说, 要在右子树处理之前打印
        if (peek.right == null) {
            colorPrintln("中: " + peek.val, 36);
            pop = stack.pop();
            colorPrintln("后: " + pop.val, 34);
        }
        // 右子树处理完成, 对中序来说, 无需打印
        else if (peek.right == pop) {
            pop = stack.pop();
            colorPrintln("后: " + pop.val, 34);
        }
        // 右子树待处理, 对中序来说, 要在右子树处理之前打印
        else {
            colorPrintln("中: " + peek.val, 36);
            curr = peek.right;
        }
    }
}

public static void colorPrintln(String origin, int color) {
    System.out.printf("\033[%dm%s\033[0m%n", color, origin);
}

一张图演示三种遍历

在这里插入图片描述

红色：前序遍历顺序
绿色：中序遍历顺序
蓝色：后续遍历顺序

5.3 Java中的堆

初始化
//小顶堆
PriorityQueue<Integer> queue = new PriorityQueue<>();
//大顶堆
PriorityQueue<Integer> queue = new PriorityQueue<>((a,b)->b-a);

入队列
queue.add(1)    queue.offer(1)
出队列
queue.remove()   queue.poll()