线性时间选择—寻找第k小的数（分治算法）

问题描述：

找出一个数组中第K小的元素，时间复杂度为O(n)。

思想

首先，找出数组元素的中位数的中位数，然后利用Partition函数对整个数组进行划分，以数组中中位数的中位数为基准将数组划分为两部分——左边部分的所有数都小于基准，右边部分都大于基准，并返回基准数的下标值。
最后，如果要找到第k小个数,就将k的大小与数组左半边元素的个数（包括基准）进行比较，如果k小于j，则对左边部分进行递归，找第k小个数；若k大于j，则对右边部分进行递归，找第k减去j个小数。

代码如下：

#include "stdafx.h"
#include <stdlib.h>
#include<time.h>
#define  MAX 100
void swap(int &a,int &b)//交换两个数的位置
{
  int p;
   p=a;
   a=b;
   b=p;
}
void bubbleSort(int a[],int p,int r){//冒泡排序
    for(int i=p;i<r;i++){
		for(int j=i+1;j<=r;j++){
			if(a[j]<a[i]){
			    swap(a[i],a[j]);
			}
		}
	}
}

int Partition(int a[],int p,int r,int val){//随机划分函数
     int pos;
	 for(int q=p;q<=r;q++){
		 if(a[q]==val){
			 pos=q;//记录中位数的中位数的位置
			 break;
		 }
	 }
	 swap(a[p],a[pos]);//将中位数的中位数与第一个数交换位置
	 int i=p,j=r;
	 int tmp=a[i];
	 while(i<j){//快速排序
		 while(i<j&&a[i]>tmp){
			 --j;
			 if(i<j){
				 a[i]=a[j];
			 }
		 }
	     while(i<j &&a[i]<=tmp){
		         ++i;
			    if(i<j){
			       a[j]=a[i];
				}
			    
		 }
	}
       a[i]=tmp;
	   return i;//返回中位数的中位数排序后的位置
}
int select(int a[],int p,int r,int k){
	if(r-p<75){//当数据个数小于75时，算法select的计算时间不超过某一常数，直接调用冒泡排序算法即可
		bubbleSort(a,p,r);//冒泡排序
		return a[p+k-1];//返回第k小的数
	}
	//当数组个数个数大于75时，算法select的计算时间与数据个数线性相关
	for(int i=0;i<=(r-p-4)/5;i++){//把每个组的中位数交换到区间[p,p+(r-p-4)/4]
          int s=p+5*i,t=s+4; 
		  for(int j=0;j<3;j++){//冒泡排序，从后开始排，结果使得后三个数是排好顺序的
               for(int n=s;n<t-j;n++){
			           if(a[n]>a[n+1]){
					        swap(a[n],a[n-1]);
						 }
				 }
		  }
         swap(a[p+1],a[s+2]);//交换每组中的中位数到前面
	}
    //(r-p-4)/5表示组数-1，则[p,p+(r-p-4)/5]的区间长度等于组数
    int x=select(a,p,p+(r-p-4)/5,(r-p-4)/10);//求中位数的中位数的值
    int c=Partition(a,p,r,x);//快速排序并返回中位数的位置
    int	j=c-p+1;//求中位数之前包括中位数的元素个数
     if(k<=j){//如果k小于中位数之前的元素的个数，对之前的元素递归调用select方法
	      return select(a,p,c,k);
	   }
    else {//如果k大于中位数之前的元素的个数，对之后的元素递归调用select方法
	      return select(a,c+1,r,k-j);
	  }
}
int main(int argc, char* argv[])
{ 
	printf("数据个数小于75时：\n");
	printf("输入数据(输入00结束)：\n");	
    int b[MAX];
    int i=0;
    int c;
    while(scanf("%d",&c)&&c!=00)
    b[i++]=c;
    printf("输入k的值：\n");
    int k;
    scanf("%d",&k);
    int d=select(b,0,i-1,k);
    printf("第%d小的元素为：%d \n",k,d);
    printf("\n");
    printf("数据个数大于75时：\n");
	int a[MAX];
	srand(time(NULL));//利用时间设置种子，使每次产生的随机数不一样
	for(int j=0;j<100;j++){
		a[j]=rand()%100;//产生100个随机数
	}
	for(int l=0;l<100;l++){
        printf("%d ",a[l]);//打印随机数
	}
	printf("\n");
	printf("输入k的值：\n");
    int y;
    scanf("%d",&y);
	int x=select(a,0,99,y);
	printf("第%d小的元素为：%d \n",y,x);
    printf("排序后的结果为：\n");
		for(int w=0;w<100;w++){
        bubbleSort(a,0, 99);
        printf("%d ",a[w]);
	}
	
	return 0;
}

运行结果：