AtCoder Beginner Contest 246 F - typewriter（容斥原理）

JXNU_SONG

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分类专栏： template 数学文章标签：算法

于 2022-04-04 10:42:54 首次发布

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本文介绍了一道AtCoder比赛中的题目F-typewriter，主要涉及容斥原理的应用。通过状压枚举和位运算求解字符串的交集，计算不同子集的贡献值。文章提到了__builtin_popcount()函数在计算二进制位1的个数时的高效性，并展示了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

F - typewriter

https://atcoder.jp/contests/abc246/tasks/abc246_f

首先我们根据容斥原理公式：（摘自百度百科）：
$|A_1\cup A_2\cup...\cup A_m|=$
$\sum\limits_{1\leq i\leq m}|A_i|-\sum\limits_{1\leq i\leq j\leq m}|A_i\cap A_j|+\sum\limits_{1\leq i\leq j\leq k\leq m}|A_i\cap A_j\cap A_k|-...+(-1)^{m-1}|A_1\cap A_2\cap...\cap A_m|$

那么对于这题来说我们可以状压枚举 $2^N-1$ 个状态，这 $2^N-1$ 个状态其实就一一对应了上述公式中某一个交集。那么这个状态对答案具体贡献的值是多少呢？首先根据这个状态中 $1$ 的个数可用判断其正负号，然后我们就要求其对应交集中元素个数，几个字符串的交集的元素个数就是他们共有的字母在 $L$ 的长度上随便放产生的串的个数，也就是 $共有的字母)^L$ 。那么共有的字符有多少呢？我们把字符串状压后求按位交即可。

这里求非负 $i n t$ 型的二进制个数可用函数__builtin_popcount()，第二次见到这个函数，起初觉得太长，不好记，不如手写，后面发现这个函数底层实现的效率真的高，比手写的要好很多，复杂度几乎是常数而非 $l o g$ 的。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1e5 + 10;
const int mod = 998244353;

int n, L;
char s[N];
int v[30];

int ksm(int base, int n) {
    int ans = 1;
    while(n) {
        if (n & 1) ans = 1ll * ans * base % mod;
        base = 1ll * base * base % mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    scanf("%d%d", &n, &L);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%s", (s + 1));
        int len = strlen(s + 1);
        for (int j = 1; j <= len; ++j) {
            v[i] |= (1 << (s[j] - 'a'));
        }
    }
    ll ans = 0;
    for (int i = 1; i < (1 << n); ++i) {
        int cur = (1 << 26) - 1;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (i & (1 << j)) cur &= v[j];
        }
        if (__builtin_popcount(i) & 1) {
            ans = (ans + ksm(__builtin_popcount(cur), L)) % mod;
        }
        else {
            ans = (ans - ksm(__builtin_popcount(cur), L) + mod) % mod;
        }
    }
    printf("%d", ans);
}