01背包问题（超不详细简易版笔记）

其实背包问题大一的时候C++老师就一直念叨，但是奈何懒和无知，老师讲的时候就总觉得soeasy。
老师原话解释如下：你的背包容积为M，然后学校某社团搞活动发零食（见者有份）一共有N种零食，每种每人只能拿一包，第i种体积为w[i],好吃程度为d[i]，你要怎么拿才能拿到有多又好吃的？当然是一包一包的选择拿或者不拿，然后再比较拿了或者不拿的好吃程度（在背包容积范围内）最后就可以了呀。
当时就觉得：哦！不就是做个比较吗？然后现在遇到了相似问题才发现我真的太无知了。好了，废话到此结束。接下来就是刚刚看网课学到的笔记了。

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有N件商品，购物车容积为M，第i件商品的体积为w[i]，价值为d[i],将哪些商品装入购物车可以使价值总和最大，每件商品有仅有一件，可选择拿或者不拿。数据如下：
（图片来自中国大学mooc北航《算法设计与分析》）

首先我们可以设置一个二维数组 F[i][j] 表示取前i种商品，使总体积不大于j，总价值为F[i][j]。
如果不取第i件商品，则总价值为F[i-1][j];
如果取第i件商品，则总价值为(F[i-1][j-w[i]]+d[i]);
取两者最优就是取两者价值最大的，所以可以推出递推式：
F[i][j] = max( F[i-1][j] , F[i-1][j-w[i]]+d[i])

但是这样开二维数组容易超内存，可以采用滚动数组的方式，把二维数组优化为一维数组F[v],v表示背包容积。因为新求出的F[v]的值会覆盖F[v+1]的值，所以 v 要从M开始递减。
优化后如果不取第i件商品，总价值为F[v];
如果取第i件商品，则总价值为F[v-w[i]]+d[i];
可以得到递推式为:
F[v]=max(F[v],F[v-w[i]]+d[i])

完整代码如下（求解图片上的问题)：

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm> 
#define N 100000
using namespace std;
int main()
{
	int n,m,w[N],d[N],f[N];//共有n件物品背包体积m,体积数组w[],价值数组d[]
	cin>>n>>m;
	int i,v; 
	for(i=1;i<=n;i++)
		cin>>d[i]>>w[i];
		
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(v=m;v>=w[i];--v)
			f[v]=max(f[v],f[v-w[i]]+d[i]); 
			
	cout<<f[m]<<endl;//此时最优解是f[m]不是f[v]
	/*可以用输出f[]的方式检验最优解为f[m]
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		cout<<f[i]<<endl;
	}
	*/
	return 0;
}

通过蛮力枚举可以得到最优解：
（图片来自中国大学mooc北航《算法设计与分析》）

运行结果如下：

其实也并没有理解的很透彻，所有要是有解释不当的地方，还请各位大佬指出来，谢谢啦。