用三道面试题了解一下动态规划的基本逻辑（开胃小菜第一道）

最新推荐文章于 2025-03-07 00:00:00 发布

小胖java攻城狮

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分类专栏： java面试题文章标签：面试 java 动态规划算法 leetcode

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题目描述：

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为O(n)。

示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

提示：

1 <= arr.length <= 10^5
-100 <= arr[i] <= 100

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof
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做题思路：

1. 动态规划简单介绍

动态规划（Dynamic Programming）简称dp，是求解最优化问题的一种常用策略，通常来说，使用动态规划去解决问题无非就是三步

1.1 定义状态（状态是原问题，子问题的解），比如定义dp（i）的含义

1.2 设置初始状态（边界），比如设置dp（0）的值

1.3 确定状态转移方程，比如确定dp（i）和dp（i - 1）的关系

2. 那么利用这三步，让我们看看如何解决上面这道题。

2.1 假设nums的值是{-2，1，-3，4，-1，2，1，-5，4}，显而易见，最大连续子序列和是4+（-1）+2+1 = 6

2.2 定义状态

假设dp（i）是以nums[i]结尾的最大连续子序列和，什么意思呢？例如

nums[0]，-2结尾的最大连续子序列是-2，所以dp（0） = -2

nums[1]，1结尾的最大连续子序列是1，所以dp（1） = 1

nums[2]，-3结尾的最大连续子序列是1，-3，所以dp（2） = dp（1）+（-3） = -2

nums[3]，4结尾的最大连续子序列是4，所以dp（3） = 4

nums[4]，-1结尾的最大连续子序列是4，-1，所以dp（4） = dp（3）+（-1） = 3

nums[5]，2结尾的最大连续子序列是4，-1，2，所以dp（5） = dp（4）+ 2 = 5

nums[6]，1结尾的最大连续子序列是4，-1，2，1，所以dp（6） = dp（5）+ 1 = 6

nums[7]，-5结尾的最大连续子序列是4，-1，2，1，-5，所以dp（7） = dp（6）+ （-5） = 1

nums[8]，4结尾的最大连续子序列是4，-1，2，1，所以dp（6） = dp（7）+ 4 = 5

所以我们可以发现规律，其实只要是前面的最大连续子序列和是大于0的话，我们就要，如果小于等于0，就不要了

2.3 状态转移方程

如果dp（i - 1）<= 0，那么dp（i）= nums[i]；如果dp（i - 1）> 0，那么dp（i）= dp（i - 1）+ nums[i]；

2.4 初始状态

dp（0）的值是nums[0]

2.5 所以最终的解肯定是最大连续子序列和dp（i）中的最大值，也就是max{dp（i）}，i∈[0，nums.length)·

3. 如果觉得太晦涩的话，接下来我就用大白话讲解

例如你现在在打王者荣耀，nums[]数组里面元素都是各个玩家的战斗力，dp（i）里面是以i结尾的组成战队的最强战斗力，因为王者荣耀是组队战斗，你要挑选战队，你是不是肯定会选择比你战斗力高的战队加入，躺赢嘛，谁不想呢，所以你一旦遇到战队战斗力没有比你大的，也就是小于等于0，就不要，遇到战斗力比你大的，你就加入战队，但是喔，因为一个战队你加了，别人也会加，有一些战斗力小于0的，比你还菜的人也想抱你们的大腿，那这样的人对于你们战队来说，是累赘啊，而且你无法判断下一个加进来的人，战斗力如何，所以等全部玩家都加入了各自的战队后，你会发现一定有最强战斗力的战队，此时，你就可以选择加入他们，强强联手，岂不是乱杀？！！

废话不多说，直接上代码，为了让各位看官更能清晰理解，我的代码写得不精简，我的代码里加了大量的注释，相信各位看官可以理解，如果我有些没写清楚或者写错的，可以评论区或者私信我喔

class Solution {
    //记住一句话，递推就是由底向上的计算过程
    //假设dp(i)是以nums[i]结尾的最大连续子序列和（nums是整个序列）
    //例如dp[4]是以nums[4]结尾的最大连续子序列和
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        //如果数组只有一个元素，那么最大和肯定只有这个元素了，就直接返回
        if(nums.length < 2) return nums[0];
        //取出第一个元素
        int dp = nums[0];
        //假设第一个元素是最大和
        int max = dp;
        for(int i = 1; i < nums.length; i++){    //遍历后面的元素 
            if(dp <= 0){    //如果遍历到某个元素，发现前面的最大连续子序列和是小于等0
            //那么这个元素就是当前的最大连续子序列和，因为很简单，前面都是负数了，我还要来干嘛，如果这个元素加上他们，岂不是更小了？所以不如不要
                dp = nums[i];
            }else{
                //发现前面的最大连续子序列和是大于0，那么我们就尝试把这个元素加进去
 /*
那可能会有这么个疑惑，假如当前元素是小于0呢？加进去岂不是会让之前的最大连续子序列和更小？其实不会，因为下面关于max代码就是会在max和dp取较大值，
由于在执行dp = dp + nums[i]之前，max肯定是之前的最大连续子序列和，所以即使当前元素是小于0也不怕，因为执行下面代码的时候，max应该是等于max而不是dp
*/
                dp = dp + nums[i];
            }
            //这里取较大和
            max = Math.max(max,dp);
        }
        //返回最大和
        return max;
    }
}

都看到这里了，不考虑点个赞再走嘛？如果大家不点赞的话，我的心就是冰冰的了