动态规划--＞最长递增子序列

什么是动态规划？

通过组合子问题的解来求解原问题的，动态规划对于每一个子子问题只求解一次，将其解保存在一个表格里面，从而无需每次求解一个子子问题时都重新计算，避免了不必要的计算工作，简单的说，动态规划的特征就是，当前状态的转移依赖于与前一个状态。

详细理解动态规划，点击这里，我觉得这位博主讲的很清楚。

下面将力扣中动态规划题列举出来，做一下分析。

 

 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

 

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

因为此题符合当前状态的转移依赖于与前一个状态，比如[0,1,3,2,3]中第一个3为例，这个当前3的长度可以在当前1的长度上面加1，而1的长度又依赖于0的长度，而0的长度为1，所以可以回溯求得当前3的长度。可见由小问题可以解决大问题，符合动态规划的特征。

先贴出代码：

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int len=nums.length;
        int[] dp=new int[len];
        Arrays.fill(dp,1);//把数组中每个元素都是1
        int maxSize=0;
        if (len==1)
            return dp[0];
        for (int i = 1; i <len ; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i]>nums[j]){
                    dp[i]=Math.max(dp[j]+1,dp[i]);
                }
            }
            if (dp[i]>maxSize)
                maxSize=dp[i];
        }
        return maxSize;
    }

其实代码很简单，但是表达起来就比较复杂了，想要大家明白动态规划的流程，我用图来一步一步的描述起来比较麻烦，大家不要吓到了。

下面以[0,1,0,3,2,3]为例，画图来讲解动态规划的过程。

• 初始化dp数组全为1

• 从数组第二个数开始遍历，如果第二个数大于第一个数，那么第二个数对应的dp就加1

• 然后第三个数和前两个数比较，如果每大于一次就加1一次，但是第三个数为0，均不大于前两数，所以dp不变。

然后第四个数和前三个数比较，3>0 ,所以dp[3]=dp[0]+1;

 然后3>1,所以dp[3]=dp[1]+1;

 然后3>0，这个时候要注意了，状态转移方程需要改变了，dp[3]=Math.max(dp[2]+1,dp[3]),因为dp[3]已经有一个更大的值3，到目前为止最长子序列为[0,1,3],如何dp[3]=dp[2]+1的话，序列变为[0,3]并非最长的，而是重新计算的，不是最优解。所以不变。

 然后继续，2和前面的数比较，2>0

2>1

2>0 dp不变

 

然后3和前面的数比较

直到3和2比较时，dp[5]=dp[4]+1;

综上，由此遍历可见，动态规划实际上就是填表的过程。